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Semana 08 -Tarea- Avance de Proyecto Final ALUMNA: YERENI SOLIS ORTIZ Profesor:Gaspar Ayquipa, Carlos Luis Curso: Calculo 1 AÑO 2025

Consigna para el Avance de Portafolio Final Guía de trabajo

1. Realice una reflexión sobre las propiedades: Resistencia, Reciclable, Reutilizable, Degradable y Eficiente de un envase de leche en lata de una empresa que opere en nuestro país. La selección de un envase para productos como la leche debe tener en cuenta varias características que no solo aseguren la calidad del producto, sino también su impacto ambiental y económico. Al evaluar las características de un envase de leche en lata, surgen varios puntos importantes: Análisis de las Características de un Envase de Leche en Lata La selección de un envase para productos como la leche es un proceso complejo que involucra considerar varias características que aseguren la calidad del producto, su impacto ambiental y económico. En este análisis, se evaluarán las características de un envase de leche en lata, destacando sus ventajas y desventajas. Durabilidad: Las latas ofrecen una mayor resistencia frente a otros materiales, protegiendo eficazmente el contenido de factores externos como golpes, presión y manejo durante el transporte. Según un estudio de la Asociación Internacional de Envases de Aluminio (IAI), las latas de aluminio son capaces de soportar presiones internas de hasta 90 psi (libras por pulgada cuadrada) sin deformarse o romperse (IAI, 2020). Reciclabilidad: Las latas, comúnmente hechas de aluminio o acero, son altamente reciclables. Según la Agencia de Protección Ambiental de los Estados Unidos (EPA), el aluminio es uno de los materiales más reciclables, con una tasa de reciclaje del 75% en los Estados Unidos (EPA, 2020). Además, el reciclaje de aluminio puede ahorrar hasta un 95% de la energía necesaria para producir aluminio primario (IAI, 2020). Reutilización: Aunque no es habitual reutilizar latas de leche para el mismo producto, estos envases pueden tener una segunda vida en otros usos. Según un estudio de la Universidad de California, las latas pueden ser reutilizadas en el hogar para almacenar objetos, como macetas, o incluso en proyectos creativos (UC, 2019). Esto prolonga el ciclo de vida del envase, reduciendo la cantidad de desechos generados.

Lados: Se cubrirán con dos rectángulos de largo 3x − 4 y altura de 1,5 cm. Parte superior e inferior: Se cubrirán con dos rectángulos de largo 3x − 4 y ancho x. Parte frontal y trasera: Se cubrirán con dos rectángulos de ancho x y altura de 1,5 cm. El área total del cartón será la suma de las áreas de estas partes: A(x) = 2 [(3x − 4) × 1.5] + 2 [(3x − 4) × x] + 2 [x × 1.5] A(x) = 3(3x − 4) + 2x(3x−4) + 3x A(x) = 9x − 12 + 6x² − 8x + 3x A(x) = 6x² + 4x − 12 Represente gráficamente la función del ítem anterior mediante la plataforma digital (GEOGEBRA, DESMOS, etc.), indicando dominio y rango. D(f) = {4,6} R f(x) = {100,228} Para minimizar el área, derivamos la función y encontramos los puntos críticos: A′(x) = 12x + 4 Igualamos a cero para encontrar el valor de x que minimiza el área: 12x + 4 = 0 x = -1/ Dado que este valor no está en el intervalo [4,6], verificamos los extremos: Para x = 4: A(4) = 6(4)² + 4(4) - 12 A(4) = 6 * 16 + 4 * 4 - 12 A(4) = 96 + 16 - 12 A(4) = 100 Para x = 6: A(6) = 6(6)² + 4(6) - 12 A(6) = 6 * 36 + 4 * 6 - 12 A(6) = 216 + 24 - 12 A(6) = 228

La mínima cantidad de material se usa cuando x = 4, que es 100 cm².

3. Usted como ingeniero debe diseñar un envase de lata para una nueva presentación de la empresa GLORIA, para ello debe analizar la presentación más vendida de la empresa a. Presente una imagen donde usted está midiendo el diámetro y altura del envase e indique cuanto material (área total) se usó en su fabricación. En cuanto al cálculo del área total del material empleado para fabricar el envase, utilizamos la fórmula proporcionada anteriormente: A total = 2πrh + 2πr² Si se tienen las medidas del diámetro (d) y la altura (h), se pueden sustituir en esta fórmula para obtener el área total. Función en una variable: El volumen de un envase cilíndrico se calcula como: V = πr²h Dado que la capacidad del envase es de 500 ml (o 500 cm³), se puede expresar la altura hhh en función del radio rrr: 500 = πr²h ⟹ h = 500 / (πr²) El área total del material utilizado para el envase incluye el área lateral y las áreas de las dos bases:

 Bases: Calidad 4, con un costo de Cb = 0.09 soles por cm². Función del Costo Total del Envase: La fórmula general para el costo total del envase cilíndrico es: Ctotal(r) = (1000Cl / r) + 2π Cb r² Sustituyendo los valores seleccionados: Ctotal(r) = 1000 × 0.03 / r + 2π × 0.09 × r² Simplificando: Ctotal(r) = 30 / r + 0.18π r² Esta función Ctotal(r) en la variable r (radio del cilindro) representa el costo total de fabricar un envase cilíndrico con:  30 / r: el costo del material para el área lateral, que disminuye a medida que el radio aumenta.  0.18π r²: el costo del material para las bases, que aumenta conforme el radio incrementa. Luego de su excelente desempeño en la empresa GLORIA, usted es contratado por la empresa FANNY para optimizar los costos de fabricación del envase de su producto más vendido De acuerdo con el área comercial de la empresa, los clientes solicitan una conserva que tenga un 20% más de capacidad. Por lo tanto, debe realizar lo siguiente: Propuesta del nuevo envase cilíndrico: El envase original tiene una capacidad V₀. Como se requiere un aumento del 20% en la capacidad, la nueva capacidad Vₙ será: Vₙ = 1.2 × V₀ Asumiendo que el volumen del envase original V₀ es conocido (suponemos que es 250 ml), el nuevo volumen sería: Vₙ = 1.2 × 250 = 300 ml Este volumen corresponderá al nuevo envase cilíndrico. La relación entre la altura hhh y el radio rrr del cilindro debe ajustarse para mantener este volumen. Propuesta de costos diferentes para el material usado en el área lateral y las bases: Suponiendo que la empresa FANNY tiene los mismos materiales disponibles que en el problema anterior, podemos asignar diferentes costos a las áreas lateral y de las

bases:  Área lateral: Se usará un material de Calidad 2, con un costo de Cl = 0.02 soles por cm².  Bases: Se usará un material de Calidad 3, con un costo de Cb = 0.07 soles por cm². Función en una variable que modele el costo total del envase: El volumen del nuevo envase Vₙ está dado por: Vₙ = π r² h = 300 cm³ De aquí, despejamos hhh como: h = 300 / (π r²) La función de costo total del material, dado que tenemos costos diferentes para el área lateral y las bases, será: C_total(r) = Cl ⋅ 2 πr ⋅ h + Cb ⋅ 2 πr² Sustituyendo hhh y los costos específicos: C_total(r) = 0.02 ⋅ 2 πr(300 / πr²) + 0.07 ⋅ 2 πr² Simplificando: C_total(r) = 12/r + 0.14πr² b. Grafique la función mediante la plataforma digital (GEOGEBRA, DESMOS, etc).

1. Función de Costo Total: La función de costo total que se nos ha dado es: C_total(r) = 12 / r + 0.14π r²
2. Derivada de la Función C_total(r): Primero, calculamos la derivada de C_total(r) con respecto a r: dC_total(r) / dr = −12 / r² + 0.28π r
3. Encontrar el Valor de r que Minimiza el Costo: Para encontrar el valor de r que minimiza el costo, igualamos la derivada a cero y resolvemos para r:

definida. En este caso, la función está definida para todos los valores de r > 0, ya que no se puede tener un radio cero o negativo. Dominio: (0, ∞) Rango: El rango de la función es el conjunto de valores que la función puede tomar. Para encontrar el rango, podemos analizar el comportamiento de la función cuando r se acerca a 0 y cuando r se acerca a ∞.

• Cuando r se acerca a 0, el término 12 / r se vuelve muy grande, por lo que la función se vuelve muy grande.
• Cuando r se acerca a ∞, el término 0.14π r² se vuelve muy grande, por lo que la función se vuelve muy grande. Por lo tanto, el rango de la función es el conjunto de todos los números reales positivos. Rango: (7.53, ∞) Nota que el valor mínimo de la función es aproximadamente 7.53, que se obtiene cuando r ≈ 2.39 cm.
  3. Conclusión sobre el Mínimo: Dado que la derivada es siempre positiva, la función C_total(r) = 12 / r + 0.14π r² es una función monótona creciente. Esto implica que el costo mínimo se obtendría en el valor más bajo posible de r, pero dado que r=0r = 0r=0 no tiene sentido físico (ya que no se puede tener un radio cero), el costo no tiene un valor mínimo práctico en esta configuración. Para asegurarse de que el diseño permita un valor crítico, tendrías que considerar una función diferente o una restricción adicional que introduzca un mínimo en la función, por ejemplo, un término que disminuya con r (como en la función original 12 / r).
  4. Mediante el uso de la integral definida (sólido de revolución) verifique el volumen de los envases diseñados en las preguntas 3 y 4: Para el envase de la pregunta 3, donde sabemos que el volumen es de 500 ml:  Radio: r  Altura: h La integral será:

Ya sabemos que el volumen es de 500 ml, por lo que: 500 = π r² h Verificación del Volumen para el Envase de la Pregunta 4 Para el envase de la pregunta 4, donde el volumen es de 300 ml:  Radio: r  Altura: h = 300 / (π r²) La integral será: Conclusión: Para ambos envases, la verificación del volumen mediante una integral definida se reduce a aplicar la fórmula conocida para el volumen de un cilindro: V = π r² h Ya hemos calculado correctamente los valores de h en función del volumen y del radio r en cada caso. Por lo tanto, la integral definida confirmará que el volumen del sólido de revolución es coherente con el volumen esperado del envase en cada uno de los casos. Envase propuesto: Datos del envase: