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PROBLEMA 1
El Wolframio cristaliza en el sistema cúbico centrado con un parámetro de red
a=316,48 pm y densidad teórica DT=19300 Kg/m
3
. Calcular:
a) Masa atómica.
b) Volumen atómico.
c) Radio atómico.
d) Densidad atómica lineal en las direcciones <1 1 1>, <1 1 0> y <1 0 0>.
e) Densidad atómica superficial en los planos (1 1 1), (1 1 0) y (1 0 0).
f) Número de átomos en 1 m
3 .
a) Masa atómica
La densidad teórica de un cristal es:
A c
a T N V
n M D ⋅
Donde n es el número de átomos de W por celdilla (C.C): n 2 at / celd
8
Ma es la masa atómica del W, Na el número de Avogadro y Vc el volumen de la celdilla ( a
3 ).
Despejando Ma:
M Kg mol gr mol
at celd
Kg m at mol m celd
n
_D N a
n_
D N V
M =
a
3 T A c T A a
3 23 12 3
−
b) Volumen atómico
La densidad teórica puede ser también expresada como la relación entre masa atómica y
volumen atómico, de donde:
m mol Kg m
Kg mol
D
M
V =
T
a a^9.^54610 / 19300 /
3
3 −
−
= ⋅
c) Radio atómico
En el sistema C.C. el radio atómico es 1/4 de la diagonal del cubo, por tanto:
pm
a pm ra 137. 04 4
d) Densidad atómica lineal
L
N atomos D =
Dirección <1 1 1>
at m m
átomos
a
D 3. 6486 10 /
9 (^111 )
< > −
Dirección <1 0 0>
at m m
átomos
a
D 3. 1598 10 /
9 (^100 )
< > −
Dirección <1 1 0>
at m m
átomos
a
D 2. 2343 10 /
9 (^110 )
< > −
e) Densidad atómica superficial
S
N atomos D (^) (xyz)=
PROBLEMA 2
La celdilla elemental del Aluminio es cúbica centrada en las caras. Su masa
atómica es 26.97 gr/mol y su densidad 2699 Kg/m
3
. Calcular:
a) Masa de un átomo.
b) Número de átomos en 1 mg
c) Número de átomos y moles por m
3 .
d) Masa de una celdilla unidad.
e) Número de celdillas en 1 gr de metal.
f) Volumen y arista de la celdilla unidad.
g) Radio atómico.
h) Factor de empaquetamiento.
i) Densidad atómica lineal en las direcciones <1 1 0> y <1 1 1>.
j) Densidad atómica superficial en los planos (1 1 0) y (1 1 1).
a) Masa de un átomo
Dividiendo la masa atómica por el número de Avogadro:
gr at at mol
gr mol M (^) a 4. 478 10 /
- 02310 /
(^123)
− = ⋅ ⋅
b) Número de átomos en un mg.
at mg gr at
gr mg N atomos/mg= 2. 23310 /
- 478 10 /
19 23
3
= ⋅ ⋅
−
−
c) Número de átomos y moles en un m
3
28 3
3
- 02710 /
. 8 /
º at m 447 10 gr at
_2.699 10 gr m
M_
D
N atomos/m=
- 23
6
1a
3 T
moles 6.023 10 at mol
_6.0 10 at m
N_
atomos/m moles/ (^) m= 23
28
A
3 3^5
3
10 /
d) Masa de una celdilla unidad
El número de átomos por celdilla es: n = 4.
Masa de la celdilla = n·M1a = 4 x 4,478·
e) Número de celdillas por gr.
celd gr
gr celd
celdillas gr 5. 58310 /
21 22
−
f) Volumen y arista de la celdilla
29 3 3 23 6 3
m a at mol gr m
at celd gr mol
N D
n M V a T
a c = ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅
a 6. 636 10 m 4. 04910 m 404. 9 pm
3 29 3 10 = ⋅ = ⋅ =
−
g) Radio atómico
pm
a Ra 143. 2 4
El radio atómico será 1/4 de la diagonal de la cara.
h) Factor de empaquetamiento
3
3
3
3
=
a
a a
R
R
a
R
F
i) Densidad atómica lineal
PROBLEMA 3
Calcúlense los átomos que existen en 1 mg y en 1 m
3 de los siguientes metales:
Nota: La estructura H.C. del Cobalto c = 1,118 x 10
- m****.
a) Plomo
Número de átomos en un mg:
at mg gr mol
gr mg at mol N atomos/mg= 2. 907 10 /
- 19 /
18
3 23
= ⋅
−
Número de átomos en un m
3
28 3 3 10
3 3 3.^29810 /
º at m m
at
R
_at
a_
n N atomos/m=
a
3 = ⋅
⎛ ⋅^
−
b) Hierro
Número de átomos en un mg.
at mg gr mol
gr mg at mol N atomos/mg = 1. 07810 /
- 847 /
19
3 23
= ⋅
−
Número de átomos en un m
3
28 3 3 10
3 3 8.^11710 /
º at m m
at
R
_at
a_
n N atomos/m=
a
3 = ⋅
⎛ ⋅^
−
c) Cobalto
Número de átomos en un mgr.
at mg gr mol
gr mg at mol N atomos/mg = 1. 02210 /
- 933 /
19
3 23
= ⋅
−
El nº átomos por celdilla es 6. y el volumen de la celdilla será: 2
a h Vc c 6
Donde c es la altura del prisma, a el lado del hexágono a = 2Ra y h la apotema:
h =a⋅sen60=a
El número de átomos en un m
3 será:
28 3 2 2 9 10 2
at m m m
at
c R
_at
a c_
at
a
− −
PROBLEMA 4
La densidad del Hierro a temperatura ambiente es de 7,87 gr/cm
3
. Calcular:
a) ¿Cuántos átomos hay por cm
3 ?
b) ¿Cuál es el tanto por ciento de espacio ocupado?
c) ¿Qué red cristalográfica presenta? ¿Por qué?
DATOS: Peso atómico del Fe = 55.85 gr/mol ; Radio atómico del Fe a 20 ºC = 0,1241 nm****.
a) Atomos por cm
3
22 3
3 23
- 487 10 /
- 85 /
º at cm gr mol
gr cm at mol N atomos/cm= 3 = ⋅
b) Porcentaje de espacio ocupado
volumentotal
volumenocupadoporesferas 3
22 7 3
−
cm
at π cm
El porcentaje de volumen ocupado es el 67,9 %
b) Factor de empaquetamiento
( )
2
3 3
pm pm
pm
c a a
R
F
π^ π
c) Densidad teórica
3
23 10 10 2
gr cm
at mol cm cm
at celd grmol
N V
n M D a c
a T =
− −
d) Densidad superficial
Plano (1 0 -1 0 )
Los puntos de corte con los ejes son (1,∞,-1,∞)
( )
18 2 (^10 )
at m m m
at
a c
at
D = ⋅
− − −
Plano (1 1 -2 0)
Los puntos de corte con los ejes son: (1,1, -1/2,∞)
( )
18 2 (^10 )
at m m m
at
a c
at
D = ⋅ ⋅
− − −
e) Densidad lineal en la dirección <2 -1 -1 0>
at m m
at
a
at
D 3. 35810 /
- 810
9 (^2 )
< −− > −
PROBLEMA 6
Durante el calentamiento, el hierro puro cambia su estructura cristalina de C.C. a
C.C.C. a 912 ºC. Calcular:
a) ¿Sufrirá el hierro una expansión o una contracción en este cambio?
b) Calcular la relación de densidades entre ambas estructuras.
DATOS: A 912 ºC el radio atómico es de 1,258 Å.(C.C.) y de 1,292 Å.(C.C.C.).
a) Efecto del aumento de temperatura.
Al pasar la temperatura por 912 ºC el hierro sufrirá una contracción por ser la estructura C.C.C.
la de máxima compacidad, aunque esta contracción se verá compensada en parte por el
aumento del radio atómico. Esta contracción implica un aumento de la densidad como
calcularemos ahora.
Calcularemos la variación relativa de volumen que sufrirán N átomos al cambiar de estructura.
3
3
3
3
3
3 3
E
V
V
nm
nm
R
R
a
N
a
N
a
N
V
V V
V
V
CC
CCC
CC
CC CCC
CC
CC CCC
El hierro se contrae un 0.493 %.
b) Relación de densidades
3
N a
n M
D
a
a T
3
3
3
3
3
3
3
3
=
nm
nm
R
R
a
a
N a
M
N a
M
D
D
CCC
CC
CCC
CC
a CC
a
a CCC
a
CC
CCC
d) Compacidad del cristal
Compacidad = 79.8 %
volumen total
Volumen ocupado Compacidad 3
3 3
a
π R A π RB
e) Densidad del compuesto
3 23 8 3
gr cm at mol cm
atA celd gr mol atB cel gr mol
N V
n M D a c
a T = ⋅ ⋅
−
PROBLEMA 8
La densidad experimental de un cristal simple de aluminio, que cristaliza en el
sistema C.C.C., es 2,697 gr/cm
3
. La constante reticular es 4,049 Å Si la discrepancia entre
el valor teórico y el experimental de la densidad es una medida de los huecos de la malla
(vacantes), calcular:
a) Fracción de átomos ausentes.
b) Huecos por cm
3
DATOS: PAl = 27 gr/mol
a) Fracción de átomos ausentes
Comparemos el número de átomos, teóricos y reales, por unidad de volumen:
t
r
t
r
Al
t t A
Al
r r A
D
D
n
n
P
DN
V
n
P
DN
V
n = ; = ⇒ =
Calculamos la densidad teórica del aluminio
3 23 8 3
gr cm at mol cm
at celd gr mol Dt = ⋅ ⋅
−
3
3 = = = gr cm
gr cm
D
D
n
n
t
r
t
r
Por tanto la fracción de átomos ausentes será: 1- nr/nt=0,0015, es decir la fracción de átomos
ausentes es del 0,15%.
b) Huecos por cm
3
Conociendo el número de átomos teóricos por cm
3 , y habiendo calculado la fracción de átomos
ausentes, podemos saber el número de huecos por cm
3
. Nº atm. teóricos por cm
3 :
22 3
3 23
6 , 02510 / 27 /
atteórico cm gr mol
gr cm at mol
P
DN
V
n
Al
t t A = ⋅
El número de huecos será:
3
22 20 3 3
Nºhuecos fracciónatausentes 0 , 0015 6 , 02510 0 , 90410
Nºhuecos nºatteóricos
cm cm cm
= × = × ⋅ = ⋅
PROBLEMA 9
El silicio cristaliza en el sistema C.C.C. de tal forma que no sólo ocupa las
posiciones principales de la malla sino también el 50 % de los intersticios tetraédricos.
Sabiendo que el parámetro de malla es 5,43 Å y que el peso atómico del silicio es 28,
gr/mol****. Calcular:
a) Densidad teórica del Si.
b) Atomos de Si por m
3 .
Para aumentar la concentración de huecos y mejorar, por tanto, sus características
semiconductoras se dopa el Si con una cantidad controlada de aluminio, de forma que
sustituye parcialmente al Si de sus posiciones originales.
c) Calcular el nº de átomos de Al por m
3 con que es preciso dopar al Si para que se
produzca una disminución de la densidad del 0,5 % con respecto a la teórica del Si.
DATOS: PAl = 26,97 gr/mol
a) Densidad teórica del Si
En el sistema C.C.C.:
Nº at./celd. : n = 4
Nº huecos tetraédricos./celd. : h = 8
Nº total at. Si/celd.: N = n + h/2 = 8 at/celd.
El volumen de la celdilla:
Un carburo de wolframio cristaliza en el sistema hexagonal, de forma que los
átomos de wolframio se sitúan en las bases del prisma y los de carbono en la sección recta
media. Determinar:
a) Fórmula y densidad del carburo.
b) Radios atómicos de W y C.
DATOS: a = 2,84 Å ; c = 2,9 Å ; PC = 12 gr/mol ; PW = 184 gr/mol
a) Fórmula y densidad
C: 3 at./celd.
tre átomos en una celdilla es 3:3, por tanto, la fórmula será: C W
W: 1/2 x 2 bases + 1/6x12 vértices = 3 at./celd.
La relación en
Para calcular la densidad calcularemos primero el volumen de la celdilla:
8 8 2 23 3 ( 2 , 84 10 ) 6 , 08 10 2 2 2 2
6 cm cm cm
a V c a
− − − = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅
3 23 23 3
gr cm at mol cm
atC celd gr mol atW celd gr mol
N V
nP n P D A
c c w w
⋅ ⋅ ⋅
−
b) Radios atómicos de C y W
=> r = a/2 = 1,42 Å ⇒ a
2
2 = (2 r (^) W + 2r (^) C )
2 ⇒ 16,5 = (2,84 + 2 r (^) C )
2
r (^) C = 0,613 Å
a = 2 rW W
PROBLEMA 11
Un cierto metal cristaliza en un sistema hexagonal sin planos intermedios y con
igual disposición atómica en las caras basales. Existen átomos en todos los vértices y en el
centro de los hexágonos, así como en los centros de los 6 triángulos equiláteros en que se
descomponen dichos hexágonos, siendo estos últimos tangentes a los anteriores y a su vez
entre sí. Los átomos correspondientes de las dos caras basales son tangentes uno a otro.
Calcular:
a) Número de átomos por celdilla.
b) Indice de coordinación.
c) Compacidad del sistema así definido.
d) Comparar la compacidad de este sistema con la del hexagonal compacto.
a) Nº de átomos por celdilla
1/6 x 12 (vértices) + l /2 x 14 (caras) = 9 at/celd
b) Indice de coordinación
Un átomo está rodeado en un mismo plano por otros 6,
además se encuentra con un átomo encima y otro debajo
tangentes a él. Por tanto son ocho los átomos que lo rodean
y que son tangentes, el índice de coordinación es pues 8.
c) Compacidad del sistema
Volumen de la celdilla:
2 3 ( 2 ) 12 3 2
6 r r r
a V (^) c = c ⋅ ⋅ ⋅ a ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅
Volumen ocupado por los átomos:
3 3 12 3
V at = 9 at / celd ⋅ π ⋅ r = π r
3
3
= = = r
r
V
V
compacidad c
at^ π
3
8
o Cu Zn Cu Zn
- 08 /
. 3. 12
.
1 .
1
- 312 3. 12 A
r r r r
= gr cm
( 10 cm) mol
at (^602310)
mol
gr 6538 celd
_atCu
mol_
gr 6354 celd
atCu
d=
= nm 3
2 + 2 a 3 = 2 + 2 a=
(^23) - 3
⎟ ⎠
⎞ ⎜ ⎝
⎛ ⋅ ⋅
=
PROBLEMA 14
Determinar los índices de Miller para los planos que cortan a los ejes en
a) a = -2, b = 2/3, c = 3/
b) a = 1/2, b = -3/2, c = 1/
c) a = -3, b = 5, c = 2.
P.DECORTE INVERSOS I.MILLER
PROBLEMA 15
Un cierto plano cristalográfico contiene las posiciones (0,0,0), (1/2,1/4,0) y
(1/2,0,1/2). ¿Cuáles son sus índices de Miller?
El esquema de las posiciones y el plano cristalográfico que las contiene, se representa en la
figura. Como el plano pasa por el origen de coordenadas lo desplazamos, por ejemplo, una
unidad en la dirección x. Entonces los puntos de corte del plano con los ejes coordenados son –
1, ½, 1 y los índices de Miller vienen dados por los valores inversos de estos puntos de corte:
−
Si hubiésemos desplazado el origen una unidad hacia arriba, los cortes en los ejes estaría en +1,
-1/2, -1, para dar unos índices de Miller , este plano es paralelo al anterior y por tanto
equivalente.
−−
PROBLEMA 16
Calcular la densidad atómica superficial ( átomos/mm
2 ) en:
a) El plano (1,1,1) en le hierro. rFe= 0,124 nm****.
b) En el plano (2,1,0) en la plata. rAg = 0,144 nm
a) En el hierro C.C.
Calculamos el nº de átomos en el plano (1 1 1) limitado
por la celdilla unitaria
=0,5 atomos 6
La densidad superficial será el nº de átomos por unidad de superficie. Habrá que determinar el
área del plano delimitado por la celdilla unitaria.
2 2 sen 60 º
Superficie deltriángulo
2 = ⋅ a ⋅ a ⋅ = ⋅ a ⋅ a ⋅ = a ⋅
=0,28 =0,28 10 mm
4 r a=
a
d =
- 6
12 (111) 2
2
20
