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Universidad Central del Ecuador
Facultad de Ingeniería y Ciencias Aplicada
Sistemas de la Información
Nivelación de Carrera
Matemáticas
Sistemas de Ecuaciones Lineales: Métodos de Solución de 3x
(Igualación, Sustitución).
Integrantes:
PINANJOTA ROLANDO JAVIER RIOFRIO
MORALES LLUMIQUINGA DANILO ISMAEL
MOROCHO GUALOTO ANDY JOEL
VALVERDE RODRIGUEZ SEBASTIAN ANDRES
VELASCO ECHEVERRIA CRISTEL ROCIO
Docente: Lic. Roger Edilberto Bombón García
4 de julio de 2025
Sistemas de Ecuaciones Lineales ¿Qué es una ecuación lineal? Una ecuación lineal es una ecuación algebraica en la que la variable o variables aparecen con exponente 1 y no se multiplican entre sí. Se llama 'lineal' porque su representación gráfica es una línea recta. Ejemplo con una variable: 3x + 5 = 20 Solución: x = 5 Ejemplo con dos variables: 2x + 3y = 6 → representa una recta en el plano cartesiano. Características de las Ecuaciones Lineales
- No tienen potencias mayores que 1.
- No tienen raíces, logaritmos ni productos entre variables.
- Su gráfica es una línea recta.
- Pueden tener una o más variables.
- Tienen una única solución (en una variable) o un conjunto de soluciones (en varias variables).
- Igualar las dos expresiones.
- Resolver la ecuación resultante.
- Sustituir el valor hallado para encontrar la otra variable. Método de Sustitución El método de sustitución consiste en despejar una variable en una de las ecuaciones y sustituirla en la otra. Así se obtiene una ecuación con una sola variable. Pasos :
- Despejar una variable en una ecuación.
- Sustituir esa expresión en la otra ecuación.
- Resolver la ecuación resultante.
- Sustituir el valor hallado para encontrar la otra variable. Diferencias entre Igualación y Sustitución Método de Igualación:
- Despejas la misma variable en ambas ecuaciones.
- Igualas las dos expresiones.
- Útil cuando ambas ecuaciones tienen la misma variable fácil de despejar. Método de Sustitución:
- Despejas una variable en una sola ecuación.
- Sustituyes esa expresión en la otra ecuación.
- Útil cuando una variable ya está aislada o es fácil de despejar.
Método de igualación
- ¿Qué es el Método de Igualación? El Método de Igualación es una técnica para resolver sistemas de ecuaciones, especialmente aquellos con dos variables. Consiste en despejar la misma incógnita en ambas ecuaciones y luego igualar las expresiones resultantes para encontrar el valor de una de las variables. Finalmente, este valor se sustituye en cualquiera de las ecuaciones originales para hallar el valor de la otra variable. El método de igualación es una técnica utilizada en álgebra para resolver sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas. Consiste en despejar la misma variable en ambas ecuaciones y luego igualar las expresiones resultantes para encontrar el valor de una incógnita, que posteriormente se sustituye en una de las ecuaciones originales para hallar la otra. En resumen, Consiste en despejar la misma variable en ambas ecuaciones y luego igualar esas expresiones para formar una ecuación con una sola incógnita. Así se resuelve una y luego se reemplaza para hallar la otra.
Es decir que, en resumen :
- Se despeja la misma variable en ambas ecuaciones.
- Permite reducir el sistema a una sola ecuación con una incógnita.
- Es útil cuando ambas ecuaciones son fáciles de despejar.
- No se modifican las ecuaciones originales, solo se reorganizan.
- Es un método algebraico y exacto.
- Requiere orden y claridad al operar.
- Ventajas y desventajas de usar el método de igualación El método de igualación en matemáticas, usado para resolver sistemas de ecuaciones, tiene ventajas como su simplicidad en ciertos casos y su eficiencia para sistemas de ecuaciones lineales. Sin embargo, puede ser menos eficiente o inadecuado para sistemas no lineales o con muchas variables, y requiere cuidado para evitar errores de cálculo. Ventajas del Método de Igualación:
- Permite resolver el sistema paso a paso y de forma lógica.
- Es muy útil cuando es fácil despejar una variable en ambas ecuaciones.
- Funciona bien para sistemas lineales de dos ecuaciones con dos incógnitas.
- No necesitas graficar, todo se hace con operaciones algebraicas. Desventajas del Método de Igualación:
- Puede volverse complicado si las ecuaciones son difíciles de despejar.
- Aumenta el riesgo de errores algebraicos si no se opera con cuidado.
- No es el método más rápido en todos los casos (a veces sustitución o reducción son mejores).
- No es práctico para sistemas grandes (más de 2 ecuaciones o variables)
- Pasos del método de igualación 1. Despeja la misma variable en ambas ecuaciones 2. Igualas las expresiones obtenidas 3. Resuelve la ecuación resultante
METODO DE SUSTITUCION EN SISTEMAS 3X
La resolución de sistemas de ecuaciones 3×3 por sustitución es un método comúnmente utilizado en álgebra lineal. A través de este método, podemos encontrar el valor de las incógnitas en un sistema de tres ecuaciones con tres variables. ¿Cuándo es mejor usar el método de sustitución?
- Cuando alguna de las ecuaciones ya tiene una variable despejada o es fácil despejarla.
- Cuando los coeficientes son números pequeños y manejables.
- Cuando necesitas un método sistemático que te permita reducir poco a poco el número de incógnitas. PROPIEDADES DE LA IGUALDAD EN LA SUSTITUCION El método de sustitución es una cadena de aplicaciones de estas propiedades: primero usas las propiedades aditivas y/o multiplicativa para aislar una variable; luego la propiedad de sustitución para reemplazarla en otras ecuaciones; y finalmente la propiedad distributiva y nuevamente las propiedades aditivas/multiplicativa para simplificar y resolver el sistema reducido. Para el método de sustitución en un sistema lineal de ecuaciones 3x3, se utilizan principalmente las siguientes propiedades de la igualdad:
- Propiedad de Sustitución: Esta es la propiedad central y definitoria del método de sustitución.
o Uso: Una vez que despejas una variable de una de las ecuaciones (ej., x=5−2y+z), esta propiedad te permite reemplazar esa variable (x) por su expresión equivalente (5−2y+z) en las otras dos ecuaciones del sistema. Esto es crucial porque reduce el número de incógnitas en esas ecuaciones, transformando el sistema de 3x3 a un sistema de 2x2. o Ejemplo: Si tienes x+2y−z=5, 3x−y+2z=10, x+y+z=1. Despejas x de la primera: x=5−2y+z. Luego, sustituyes esta expresión para x en la segunda y tercera ecuaciones: ▪ 3(5−2y+z)−y+2z= ▪ (5−2y+z)+y+z=
- Propiedad Aditiva de la Igualdad (o de la Suma/Resta): o Uso: Esta propiedad se usa extensivamente al despejar una variable en la primera etapa del método, y luego también al resolver el sistema reducido de 2x2. Para despejar una variable, necesitas mover términos de un lado de la ecuación al otro, lo cual se hace sumando o restando la misma cantidad en ambos lados de la igualdad. o Ejemplo: Para despejar x de x+2y−z=5: ▪ Restas 2y a ambos lados: x−z=5−2y ▪ Sumas z a ambos lados: x=5−2y+z
- Propiedad Multiplicativa de la Igualdad (o de la Multiplicación/División):
▪ Luego, combinas términos semejantes: 15−7y+5z= Pasos para resolver un sistema de ecuaciones lineales de 3x
1. Elegimos una variable, la despejamos en una de las ecuaciones. 2. La variable despejada reemplazamos en las otras dos ecuaciones 3. Las dos nuevas ecuaciones que resulten del paso 2 formarán un sistema de ecuaciones de 2x2. 4. Resolvemos el sistema de 2x2. 5. Los valores obtenidos reemplazamos en la ecuación del paso 1 Ejemplo 1 (Básico) : resolver el siguiente sistema de ecuaciones 3x3 por el método de sustitución.
PASO 1. Elegimos una variable, la despejamos en una de las ecuaciones. En este caso elegimos la tercera ecuación y despejamos X PASO 2. La variable despejada reemplazamos en las otras dos ecuaciones PASO 3. Las dos nuevas ecuaciones que resulten del paso 2 formarán un sistema de ecuaciones de 2x2.
La solución del ejemplo de sistema de ecuaciones lineales 3x3 es: COMPROBACION Para comprobar que una ecuación lineal 3x3 resuelta por el método de sustitución está bien realizada, debes sustituir los valores obtenidos para x, y, y z en cada una de las tres ecuaciones originales. Si los valores satisfacen las tres ecuaciones (es decir, hacen que cada igualdad sea verdadera), entonces la solución es correcta. Comprobación del ejemplo ECUACION ORIGINAL: RESULTADOS OBTENIDOS: REMPLAZO EN ECUACIÓN ORIGINAL:
Conclusión de la comprobación: Dado que los valores x=−4, y=6, y z=1 satisfacen las tres ecuaciones originales, la solución es correcta. Ejercicios en Clase PROBLEMA RESPUESTA 1.
(Multiplicativa de la Igualdad (o de la Multiplicación/División)) División En el contexto del método de sustitución para resolver un sistema de tres ecuaciones lineales con tres incógnitas ( 3 × 3 ), la Propiedad de la División de la Igualdad es una herramienta que se aplica a una ecuación individual del sistema para:
- Despejar una variable: Cuando se aísla una incógnita (como x, y, o z) para expresarla en términos de las otras variables o constantes, si el coeficiente de esa incógnita no es 1, se divide toda la ecuación por ese coeficiente para obtener la variable completamente sola.
- Simplificar una ecuación: Si todos los términos de una ecuación (incluyendo el término constante al otro lado de la igualdad) son múltiplos de un mismo número, se puede dividir toda la ecuación por ese número para obtener una ecuación equivalente más simple, lo que facilita los cálculos posteriores. En esencia, esta propiedad establece que **si divides ambos lados de una ecuación por la misma cantidad (siempre que esa cantidad no sea cero), la igualdad se mantiene y la ecuación resultante es equivalente a la original. Ejemplo:
- Aísla el término con x:** (Aquí implícitamente usas la Propiedad Aditiva de la Igualdad al restar y y sumar z a ambos lados).
2. Aplica la Propiedad Multiplicativa de la Igualdad (en forma de división): (Aquí estás dividiendo ambos lados por 3, que es la aplicación de la propiedad). 3. Resultado final: Multiplicación La Propiedad Multiplicativa de la Igualdad (aplicada como multiplicación) establece que si tienes una ecuación dentro del sistema (A=B), y multiplicas ambos lados de esa misma ecuación por la misma cantidad C (donde C es cualquier número real diferente de cero), la igualdad se mantiene. ¿Cuándo y Por Qué se Usa en el Método de Sustitución 3x3? Esta propiedad es crucial para:
- Eliminar Denominadores (Fracciones): Después de sustituir una expresión (que a menudo es una fracción) en otra ecuación, es común que aparezcan denominadores. Multiplicar toda la ecuación por el mínimo común múltiplo (MCM) de esos denominadores transforma la ecuación en una con coeficientes enteros, lo que simplifica enormemente los cálculos posteriores.
