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Capítulo I
Lógica proposicional
Tema 1. Proposiciones y operadores Lógicos
1.1 Definiciones básicas
Término: Cada parte que constituye un enunciado o discurso. Sinónimo de palabra o colección de palabras. Término categoremático: término que tiene significado propio e independiente Término sincategoremático: término que no tiene significado propio y seutiliza para modificar o enlazar términos categoremáticos Proposición lógica: agrupación de términos de la que se puede afirmar si su contenido es falso o verdadero. Pueden ser atómicas o moleculares Proposición atómica: proposición que no puede descomponerse en partes que sean a su vez proposiciones. Proposición molecular: proposición formada por una o varias proposiciones atómicas enlazadas por términos sincategoremáticos Conectores proposicionales: términos sincategoremáticos que se usan para modificar o enlazar proposiciones Conectores monádicos: se aplican a una sola proposición ej: negación Conectores diádicos: se aplican a dos proposiciones ej: conjunción (y), disyunción (o) disyunción exclusiva ( o…o…) condicional (si…entonces) bicondicional (s y solo si) Simbolizaciones: proposiciones atómicas se simbolizan por letras minúsculas comenzando por la p : p. q, r, s Variable proposicional: símbolo que sustituye a una proposición atómica Conectivo u operador lógico: símbolo del conector proposicional
Conector Símbolo negación (^) ¬ conjunción (^) ∧ disyunción (^) ∨ disyunción exclusiva (^) ∆ condicional (^) → bicondicional (^) ↔
Fórmula lógica: expresión simbólica que sustituye a una proposición molecular Valorar o hallar valor lógico de una proposición: averiguar la falsedad o veracidad de la misma. V ⇔ verdad ⇔ 1, F ⇔ falso ⇔ 0. Álgebra de proposiciones: Construcción de fórmulas lógicas y estudio de su veracidad o falsedad así como de sus propiedades
Axiomas del álgebra de proposiciones: Axioma 1: toda proposición es verdadera o falsa, es decir, toma valores 0 o 1
Axioma 2: Una fórmula lógica representa una proposición cuyo valor de verdad o falsedad depende de los conectores y los valores de verdad o falsedad de las variables proposicionales que la contienen Axioma 3: Los valores de verdad o falsedad de las fórmulas lógicas se establecen en tablas llamadas Tablas de verdad Operación lógica: cuando modificamos o enlazamos una o varias proposiciones mediante conectores obteniendo una nueva proposición
1.2 Tablas de verdad
Representación de todas las combinaciones posibles de falsedad o veracidad de una proposición atómica o molecular. Contiene 2 n^ filas, siendo n la cantidad de variables de la proposición molecular.
Ejemplos de Tablas de verdad n = 1 p 0 1
n = 2 p q 0 0 0 1 1 0 1 1
n = 3 p q r 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1
n = 4 p q r s 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 1 1 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1
p q (^) p → q 0 0 1 0 1 1 1 0 0 1 1
Bicondicional: Dadas dos proposiciones p, q , el bicondicional es la proposición molecular p si y solo si q que se simboliza (p ↔ q)
p q (^) p ↔ q 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 1
1.4 Tautología contradicción y contingencia
Tautología: proposición que es siempre verdadera independiente de los valores
de veracidad de sus proposiciones componentes. Ejemplo p ∨ ¬p
Contradicción: proposición que es siempre falsa independiente de los valores de
veracidad de sus proposiciones componentes. Ejemplo p ∧ ¬p
Contingencia: proposición que es verdadera o falsa Ejemplo p ∨ (p ↓ q)
1.5 Equivalencia e implicación lógicas
Proposiciones equivalentes: si sus tablas de verdad coinciden exactamente, se simboliza ⇔
Ejemplo
p q p ↔q p →q q →p (p →q) ∧(q →p)
Implicación: Se dice que una proposición P implica lógicamente a Q y se escribe P ⇒ Q si y solo si la condicional P → Q es una tautología , es decir, en ningún caso P es verdadera y Q es falsa La implicación cumple las propiedades:
- Reflexiva P ⇒ P
2. Antisimétrica [(P ⇒ Q)∧(Q ⇒ P)]→(P ⇔ Q)
- Transitiva [(P ⇒ Q)∧(Q ⇒ R)]→(P ⇒ R) P ⇒ Q se denomina Teorema donde P es condición suficiente para Q o Q es condición necesaria para P Teorema directo: P ⇒ Q
Teorema recíproco: Q ⇒ P
Teorema contrario: ¬P ⇒ ¬Q
Teorema contrarrecíproco: ¬Q ⇒ ¬P
1.6 Leyes Lógicas
Leyes de absorción
[ ] [ ]
p p q p p p q p
Leyes de idempotencia p p p p p p
Leyes de asociatividad
[ ] [ ] [ ] [ ]
p q r p q r p q r p q r
Leyes de conmutatividad ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
p q q p p q q p p q q p
Leyes de complementación ( ) 1 ley del tercio exclusivo ( ) 0 ley de contradiccion
p p p p
Leyes de distributividad
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]
p q r p q p r p q r p q p r p q r p q p r p q r p q p r
Leyes de identidad ( 0) ( 1)
p p p p p p p p
Ley de la doble negación o de involución ¬¬p ⇔p
Leyes de De Morgan ( ) ( )
p q p q p q p q
Leyes de simplificación ( ) ( )
p q p p q q
Leyes de adición
Tema 2. Cálculo de operadores lógicos
2.1 Procedimientos de decisión
Tablas de verdad Árboles semánticos Refutación
2.2 Sistema inferencial del cálculo de proposiciones
Reglas básicas de inferencia:
Reglas de Eliminación Reglas de Introducción Reglas básicas del condicional
1.Modus ponendo ponens p q p q
- Teorema de deducción p
q
p q
Reglas básicas de la conjunción
- Simplificación p q p
- Producto p q p ∧q
Reglas básicas de la disyunción
- Prueba por casos p q p
r q
r r
- Adición
p p q
q p q
Reglas básicas de la negación
- Doble negación p p
- Reducción al absurdo p
q q p
Tema 3. Lógica de predicados
3.1 Cuantificadores
Cuantificador universal: “para todo”, “cualquier” Sea P(x) un predicado sobre el conjunto A ( ∀x ∈A P x) ( ) { 1 2 1 }
1 2 1
Si , ,..., , ( ) ( ) ( ) ( ) ... ( ) (
n n n
A a a a a x A P x P a P a P a P a
− −
Cuantificador existencial: “existe al menos uno”, “alguno”
Sea P(x) un predicado sobre A ≠^ ∅^ ( ∃x ∈A P x) ( ) { 1 2 1 } 1 2 1
Si , ,..., , ( ) ( ) ( ) ( ) ... ( ) ( )
n n n n
A a a a a x A P x P a P a P a P a
− −
Relaciones entre los cuantificadores: Sea P(x) un predicado sobre A ( ) ( ) ( )( ( )) ( ) ( ) ( )( ( ))
x P x x P x x P x x P x
Casos particulares de los anteriores: ( )( ( )) ( ) ( ) ( )( ( )) ( )( ( ))
x P x x P x x P x x P x
Cuantificador Universal ∀ y conectivos ∧ y ∨ ( ( )) ( ( )) ( )( ( ) ( )) ( ( )) ( ( )) ( )( ( ) ( ))
xP x xQ x x P x Q x xP x xQ x x P x Q x
Cuantificador Existencial ∃ y conectivos ∧ , ∨ y → ( ( )) ( ( )) ( )( ( ) ( )) ( ( )) ( ( )) ( )( ( ) ( )) ( ( )) ( ( )) ( )( ( ) ( )
xP x xQ x x P x Q x xP x xQ x x P x Q x xP x xQ x x P x Q x
3.2 Proposiciones Categóricas.
Proposición Universal Afirmativa: A Todo S es P ( ∀x )( S x( ) → P x( )) S ⊂P
Proposición Universal Negativa: E Ningún S es P ( ∀x )( S x( ) → ¬P x ( )) S ∩ P= ∅
Ejemplos
Analizar la validez de los siguientes modos silogísticos 1.- Ningún número negativo es natural Todo numero menor que 0 es negativo
Ningún número menor que 0 es natural
Término mayor = S (sujeto) = menor que 0, Término menor = P (predicado) = es natural, Término medio = M = negativo
Ningún número negativo es natural E M ⎯ P
Todo número menor que 0 es negativo A S ⎯ M
Ningún número menor que 0 es natural E S ⎯ P
Corresponde a la figura 1, modo EAE-1, luego es válido
2.- Todo número entero es real A M ⎯ P
Todo número natural es entero A S ⎯ M
Todo número natural es real A S ⎯ P
Término mayor = S (sujeto) = es natural, Término menor = P (predicado) = es real, Término medio = M = es entero
Corresponde a la figura 1, modo AAA-1, luego es válido
3.- Ningún número impar es divisible por 2 E P ⎯ M
Algún número primo es divisible por 2 I S ⎯ M
Algún número primo no es impar O S ⎯ P
Término mayor = S (sujeto) = Primos, Término menor = P (predicado) = Impares, Término medio = M = Divisible por 2
Corresponde a la figura 2, modo EIO-1, luego es válido
Ejercicios Resueltos
1.- En cada una de las siguientes formas proposicionales encontrar equivalentes utilizando los conectivos ∧ y ¬ , simplificándolas en lo posible.
a) p ∨ q ∨ ¬r (Los paréntesis suelen omitirse)
Solución: ¬ ¬( p ∧ ¬ q ∧r)
b) p ∨ ⎡⎣( ¬q ∧ r )→p⎤⎦
Solución: ¬ ¬⎡⎣ p ∧ ¬( q ∧r)⎤⎦
c) p → ( q →r)
Solución: ¬ ( p ∧ q ∧ ¬r)
2.- Simplificar las siguientes expresiones y escribirlas utilizando los conectivos ∨ y ¬.
a) ( p ∧ ¬q )∧ ¬p
Solución: ∅
b) p → ( q ∨ r )∧ ¬ p ∧q
Solución: ¬p ∨ ¬ ¬⎡⎣ ( q ∨ r )∨ p ∨ ¬q⎤⎦
c) ¬p ∧ ¬q ∧ ( r →p)
Solución: ¬ ⎡⎣ p ∨ q ∨ ¬ ¬ ∨( r p)⎤⎦
3.- Simplificar las formas proposicionales siguientes:
a) ⎡⎣( p ∧ q ) ∧ r ⎤⎦ ∨ ⎡⎣( p ∧ q ) ∧ ¬r ⎤⎦∨ ¬[ p ∧q]
Solución: τ ∧ q ≡ q ( τ = Tautología)
b) ⎡⎣ p → ( q ∨ ¬r )⎤⎦∧ ¬p ∧q
Solución: ¬p ∧q
4.- Averiguar mediante tablas de verdad si son o no tautologías las formas proposicionales siguientes:
a) p ↔ ¬¬p
p ¬p ¬¬p p ↔ ¬¬p 1 0 1 1 0 1 0 1
f) ¬ (^) ( p ∧ q (^) ) ↔ (^) ( ¬p ∨ ¬q)
p q ¬p ¬q p ∧ q ¬ (^) ( p ∧ q) ( ¬p ∨ ¬q (^) ) ¬ (^) ( p ∧ q (^) ) ↔ (^) ( ¬p ∨ ¬q)
1 1 0 0 1 0 0 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 0 0 1 1 1 0 0 1 1 0 1 1 1
5.- Escribir las siguientes expresiones lógicas utilizando los conectivos ∧ , ∨ y ¬. Para resolverlo usaremos sus tablas de verdad.
a) p ∆q
Solución:
p q (^) p ∆q
0 0 0 0 1 1 ⇔^ ( ¬p^ ∧q) 1 0 1 ⇔^ ( p^ ∧ ¬q) 1 1 0
Luego p ∆q ⇔ (^) ( ¬p ∧ q (^) ) ∨ (^) ( p ∧ ¬q)
b) p ↓q
p q (^) p ↓q
0 0 1 ⇔^ ( ¬p^ ∧ ¬q) 0 1 0 1 0 0 1 1 0
Luego p ↓ q ⇔ (^) ( ¬p ∧ ¬q)
c) p →q
p q p →q
0 0 1 ⇔^ ( ¬p^ ∧ ¬q) 0 1 1 ⇔^ ( ¬p^ ∧q)
1 0 0 ⇔ ¬^ ( p^ ∧ ¬q) 1 1 1 ⇔^ ( p^ ∧q) Luego (^) ( p → q (^) ) ⇔ (^) ( ¬p ∧ ¬q (^) ) ∧ ¬( p ∧ q (^) ) ∧ (^) ( p ∧ q (^) ) ⇔ ¬ (^) ( p ∧ ¬q) Aplicando De Morgan ¬ (^) ( p ∧ ¬ q (^) )⇔ ¬p ∨ ¬¬q ⇔ ¬p ∨q Luego p → q ⇔ ¬p ∨ qtambién.
c) p ↔q
p q p ↔q
0 0 1 ⇔^ ( ¬p^ ∧ ¬q) 0 1 0 1 0 0 1 1 1 ⇔^ ( p^ ∧q)
Luego (^) ( p ↔ q (^) ) ⇔ (^) ( p → q) ∧ (^) ( q → p (^) ) ⇔ (^) ( ¬p ∧ ¬q (^) ) ∨ (^) ( p ∧q) Pero p → q ⇔ ¬p ∨ qy q → p ⇔ ¬q ∨ p(del apartado anterior) Luego p ↔ q ⇔ (^) ( ¬p ∨ q (^) ) ∧ ¬( q ∨ p)también.
6.- Resolver los siguientes argumentos:
a) Conclusión: t ∨u
- (^ p^ ∧^ q^ )^ →^ (^ r^ ∨s)
- p^ →q
- p^ ∧^ ( r^ →^ ( t^ ∧u))
- s^ →^ ( t^ ∧w)
- p^ Simp 3
- q^ MPP(2,5)
- p^ ∧^ q Prod(5,6)
- r ∨ s MPP(1,7)
- r^ →^ ( t^ ∧^ u) Simp 3
- (^) r
- t ∧ u MPP(9,10)
- t
- s
- t ∧ w MPP(4,13)
- t Simp 14
- p^ ∧^ q^ → ¬r
- q^ ∧t
- r
- q^ Simp 2
- p^ Aux
- p^ ∧^ q Prod(4,5)
- ¬r MPP(1,6)
- r ∧ ¬r Prod(3,7)
- ¬p^ Abs 5-
- r^ → ¬p
7.- Analizar la validez de los siguientes modos:
Ningún número negativo es natural Todo número menor que 0 es negativo
Ningún número menor que 0 es natural
Término mayor = S (sujeto) = menor que 0 Término menor = P (predicado) = es natural Término medio = M = negativo
Ningún número negativo es natural E M — P Todo número menor que 0 es negativo A S — M
Ningún número menor que 0 es natural E S — P
Corresponde a la figura 1, modo EAE-1, luego es válido
Todo número entero es real A M — P Todo número natural es entero A S — M
Todo número natural es entero A S — P
Término mayor = S (sujeto) = es natural Término menor = P (predicado) = es real Término medio = M = es entero
Corresponde a la figura 1, modo AAA-1, luego es válido
Ningún número impar es divisible por 2 E P — M Algún número primo es divisible por 2 I S — M
Algún número primo no es impar O S — P
Término mayor = S (sujeto) = Primos Término menor = P (predicado) = Impares Término medio = M = Divisibles por 2
Corresponde a la figura 2, modo EIO-2, luego es válido
Algunos triángulos son rectángulos I M — P Todo triángulo tiene tres ángulos que Suman 180º A M — S
Algún triángulo cuyos tres ángulos suman 180º es un triángulo rectángulo I S — P
Término mayor = S (sujeto) = Triángulo cuyos 3 ángulos suman 180º Término menor = P (predicado) = Triángulo rectángulo Término medio = M = Triángulo
Corresponde a la figura 3, modo IAI-3, luego es válido
Ninguna matriz singular es invertible E P — M Algunas matrices invertibles son triangulares I M — S
Algunas matrices triangulares no son singulares O S — P
Término mayor = S (sujeto) = Triangular Término menor = P (predicado) = Singular Término medio = M = Invertible
Corresponde a la figura 4, modo EIO-4, luego es válido
Algunos triángulos son rectángulos I M ⎯ P
Todo triángulo tiene tres ángulos
que suman 180º A M ⎯ S
