¡Descarga Campo eléctrico en distribuciones de carga con simetría esférica, cilíndrica y plana y más Guías, Proyectos, Investigaciones en PDF de Física solo en Docsity!
2 Ley de Gauss
2.1 Definición de flujo eléctrico
Considere una superficie arbitraria con forma de rectángulo de Área 𝐴. Supóngase que esa
superficie está sumergida en un campo eléctrico constante 𝐸
(Figura 2. 1 ). El campo
eléctrico forma cierto ángulo con la superficie; para ello introducimos el vector unitario 𝑛̂
perpendicular a la superficie, de tal forma que el ángulo que hace el campo eléctrico 𝐸
, es
con respecto a este vector. Como podemos observar, el vector campo eléctrico tiene dos
componentes, una tangencial, 𝐸 ∥
, es decir, paralela a la superficie, y otra normal, 𝐸
⊥
o
perpendicular a ella. El flujo eléctrico Φ
𝐸
que atraviesa la superficie se define como el
producto del área 𝐴 por la componente normal del campo eléctrico, el flujo es
𝐸
⊥
Figura 2.1 Definición de flujo eléctrico
Las unidades SI del flujo eléctrico es la unidad de campo eléctrico por unidad de área: esto
es, (
𝑁
𝐶
2
o
𝑁𝑚
2
𝐶
De acuerdo a la figura 2. 1 , la componente normal 𝐸 ⊥
, tambien se puede expresar de la
forma
⊥
El flujo eléctrico e, de acuerdo a la ecuación ( 2. 1 ) es
𝐸
∥
⊥
Por definición de producto escalar 𝐴. 𝐵
= 𝐴𝐵𝑐𝑜𝑠(𝜃). Entonces
𝐸
Donde 𝐴 es un vector de área, definido por 𝐴 = 𝑛̂ 𝐴.
Consideremos los tres casos siguientes
a) La superficie está de frente al campo eléctrico
y 𝐴 son paralelos; ⇒ Φ
𝐸
b) La superficie está inclinada un ángulo 𝜃, respecto al campo eléctrico
El ángulo entre 𝐸
y 𝐴 es 𝜃; ⇒ Φ
𝐸
c) La superficie está de canto en relación con el campo eléctrico
y 𝐴 son perpendiculares; ⇒ Φ
𝐸
a) b)
c)
Figura 2.2 Una superficie plana en un campo eléctrico uniforme.
𝐸
⁄ × 0. 0314 𝑚
2
𝐸
2
Ejemplo 2.2 9 Flujo eléctrico a través de un cubo
Un cubo de arista 𝐿 está situado en una región de campo eléctrico uniforme 𝐸
. Determine el
flujo eléctrico que pasa a través de cada cara del cubo y el flujo total a través de éste
cuando a) el cubo está orientado con dos de sus caras perpendiculares al campo 𝐸
como se
ilustra en la figura 1. 23 𝑎 ; y b) cuando el cubo se gira un ángulo 𝜃, como en la figura
a) b)
Figura 2.4 Flujo eléctrico de un campo uniforme 𝐸
a través de una caja cúbica con arista 𝐿
en dos orientaciones.
Planteamiento: En este problema se va a determinar el flujo eléctrico a través de cada cara
del cubo y el flujo total (la suma de los flujos que pasan por las seis caras).
a) El cubo está orientado con dos de sus caras perpendiculares al campo 𝐸
En la figura se ilustran los vectores unitarios para cada cara (𝑛̂
1
8
); la dirección de cada
vector unitario es hacia fuera desde la superficie cerrada del cubo.
El ángulo entre 𝐸
y 𝑛̂
1
y es 180
0
𝐸
1
1
0
𝐸
2
El ángulo entre 𝐸
y 𝑛̂
2
es de 0
0
𝐸
2
2
0
𝐸
2
El ángulo entre 𝐸
y 𝑛̂
3
es de 90
0
𝐸 3
3
0
𝐸
El ángulo entre 𝐸
y 𝑛̂
4
es de 90
0
𝐸 4
4
0
𝐸
El ángulo entre 𝐸
y 𝑛̂
5
es de 90
0
𝐸
5
5
0
𝐸
El ángulo entre 𝐸
y 𝑛̂
6
es de 90
0
𝐸
6
6
0
𝐸
1
2
3
4
5
6
4
6
1
2
3
5
𝐸
𝐸
1
𝐸
2
𝐸
3
𝐸
4
𝐸
5
𝐸
6
𝐸
2
2
b) Cuando el cubo se gira un ángulo 𝜃, como en la Figura 2. 4 𝑏
El ángulo entre 𝐸
y 𝑛̂
1
y es 𝜃 ⇒ Φ
𝐸
1
1
𝐸
2
El ángulo entre 𝐸
y 𝑛̂
2
es de 𝜃 ⇒ Φ
𝐸 2
2
𝐸
2
El ∢ entre 𝐸
y 𝑛̂
3
es 90
0
𝐸
3
3
0
𝐸
2
El ∢ entre 𝐸
y 𝑛̂
4
es 90
0
𝐸
4
4
0
𝐸
2
El ángulo entre 𝐸
y 𝑛̂
5
es de 90
0
𝐸
5
5
0
𝐸
El ángulo entre 𝐸
y 𝑛̂
6
es de 90
0
𝐸
6
6
0
𝐸
𝐸
𝐸 1
𝐸 2
𝐸 3
𝐸 4
𝐸 5
𝐸 6
𝐸
2
2
2
2
El flujo total través de la superficie del cubo es, de nuevo, igual a cero.
2. 2 Flujo de un campo eléctrico no uniforme
Aquí se divide el área 𝐴 en muchos elementos pequeños 𝑑𝐴, cada uno de los cuales tiene
un vector unitario perpendicular a él, y un vector de área 𝐴 = 𝑛̂ 𝐴. (Figura 2. 5 )
Figura 2.5 Flujo eléctrico en una superficie arbitraria y campo eléctrico no uniforme.
∥
⊥
𝐸
0
2
× 4 𝜋𝑅
2
𝐸
0
Analicemos ahora el caso de la carga +𝑞, rodeada por la esfera de radio 2 𝑅 (véase la
figura 2. 6 ). La situación es semejante a la estudiada anteriormente, entonces el flujo
eléctrico seria,
𝑆
Donde el área de la de la esfera es 4 𝜋
2
2
y el campo eléctrico en la
superficie de esta esfera es
0
2
0
2
0
2
Entonces
𝐸
0
2
2
𝐸
0
De acuerdo a los resultados obtenidos, ecuaciones ( 2. 5 ) ( 2. 6 )
El flujo eléctrico es independiente del radio R de la esfera; sólo depende de la carga q
encerrada por la esfera.
Figura 2.6 Proyección de un elemento de área 𝑑𝐴 de una esfera de radio 𝑅 sobre una
esfera concéntrica de radio 2 𝑅. La proyección multiplica las dimensiones lineales por 2,
por lo que el elemento de área sobre la esfera más grande es 4 𝑑𝐴.
Carga puntual dentro de una superficie no esférica
Sea una esfera de radio 𝑅 circundada por una superficie de forma irregular, en vez de por
una segunda esfera (Figura 2. 7 𝑎). Procedamos a dividir la superficie irregular en elementos
𝑑𝐴, calcular para cada uno de ellos el flujo eléctrico según la ecuación ( 2. 2 ), y sumar los
resultados por integración, Esto es,
𝐸
𝑆
𝑆
Recordemos que el campo eléctrico producido por una carga puntual en cualquier punto,
viene dado por la ecuación
. Entonces,
𝐸
𝑆
0
2
𝑆
𝐸
0
2
𝑆
𝐸
0
2
𝑆
En el caso de, donde la superficie cerrada no encierra ninguna carga, el flojo es nulo
𝐸
𝑆
𝑆
Figura 2.8 Carga puntual afuera de una superficie cerrada que no encierra ninguna carga.
Si una línea de campo eléctrico proveniente de la carga externa entra por un punto de la
superficie, debe salir por otro.
2. 5 Forma general de la ley de Gauss
Ahora viene el paso final en la obtención de la forma general de la ley de Gauss. Suponga
que la superficie encierra no sólo una carga puntual 𝑞, sino varias cargas, 𝑞
1
2
3
, …. El
campo eléctrico total (resultante) 𝐸
en cualquier punto es la suma vectorial de los campos
de las cargas individuales. Sea 𝑄 𝑒𝑛𝑐
la carga total encerrada por la superficie 𝑄
𝑒𝑛𝑐
1
2
3
el campo total en la posición del elemento de área de la
superficie 𝑑𝐴 , y sea 𝐸
⊥
su componente perpendicular al plano de ese elemento (es decir,
paralelo a 𝑑𝐴 ). Luego, se puede escribir una ecuación como ecuación
para cada
carga y su campo correspondiente y luego sumar los resultados. Al hacerlo se obtiene el
enunciado general de la ley de Gauss:
𝐸
𝑆
𝑆
𝑒𝑛𝑐
0
El flujo eléctrico total a través de una superficie cerrada es igual a la carga eléctrica total
(neta) dentro de la superficie, dividida entre 𝜀 0
Superficies gaussianas
Recuerde que la superficie cerrada a que se refiere la ley de Gauss es imaginaria; no es
necesario que haya un objeto material en la posición de la superficie. A menudo se hace
referencia a la superficie cerrada que se menciona en la ley de Gauss como superficie
gaussiana. Como ejemplo, en la figura a se muestra una superficie gaussiana de radio 𝑟
alrededor de una carga puntual positiva +𝑞
a)
Figura 2.9 Superficies gaussianas esféricas alrededor de a) una carga puntual positiva y b)
una carga puntual negativa.
El flujo eléctrico producido por la carga +𝑞 sobre la superficie gaussiana de radio 𝑟 es
𝐸
𝑆
𝑆 𝑆
0
2
× 4 𝜋𝑟
2
𝐸
0
El flujo eléctrico producido por la carga −𝑞 sobre la superficie gaussiana de radio 𝑟 es
𝐸
𝑆
𝑆 𝑆
0
2
× 4 𝜋𝑟
2
𝐸
0
Esto de nuevo concuerda con la ley de Gauss porque la carga encerrada en la figura 1. 28 𝑏
es 𝑄 𝑒𝑛𝑐
0
2
b) Campo eléctrico en puntos interiores a la esfera 𝑟 < 𝑅
Por ultimo para determinar el campo eléctrico dentro del conductor, se usa una superficie
gaussiana esférica con radio 𝑟 < 𝑅. De nuevo, la simetría esférica dice
2
𝑒𝑛𝑐
0
Pero, como toda la carga esta concentrada o distribuida en la superficie de la esfera,
𝑒𝑛𝑐
2
0
En la figura 2. 11 , se muestra el campo en el interior, superficie y exterior de la esfera.
Figura 2.11 Cálculo del campo eléctrico de una esfera conductora con carga positiva 𝑞.
Fuera de la esfera, el campo es el mismo que si toda la carga estuviera concentrada en el
centro de la esfera.
0
2
Superficies gaussianas
0
2
Ejemplo 2.4 8 Campo eléctrico de una esfera con carga uniforme
Una carga eléctrica positiva 𝑄 está distribuida de manera uniforme en todo el volumen de
una esfera aislante con radio 𝑅 (Figura 2. 12 𝑎). Encuentre la magnitud del campo eléctrico
en el punto 𝑃 a una distancia 𝑟 del centro de la esfera.
a) b) c)
Figura 2.12 Campo electrico de una esfera con carga uniforme. a) Esfera con carga
uniforme, b) Superficie gaussiana (Color morado) con 𝑟 < 𝑅, c) Superficie gaussiana
(Color morado) con 𝑟 > 𝑅
Planteamiento: Para emplear la simetría se elige como superficie gaussiana una esfera con
radio 𝑟, concéntrica con la distribución de la carga, figura 2. 12 𝑏
Por simetría, la magnitud 𝐸
del campo eléctrico tiene el mismo valor en todos los puntos de
la superficie gaussiana, y la dirección de es radial en cada uno de ellos, por lo que 𝐸 = 𝐸
⊥
Así, el flujo eléctrico total a través de la superficie gaussiana es el producto de 𝐸 por el área
total de la superficie 𝐴 = 4 𝜋𝑟
2
, es decir, 𝐸
2
𝐸
. La cantidad de carga encerrada
por la superficie gaussiana depende del radio 𝑟.
a) Campo eléctrico en puntos interiores a la esfera 𝑟 < 𝑅
En primer lugar se considera el campo fuera del conductor, por lo que se elige 𝑟 < 𝑅. La
densidad volumétrica de carga 𝜌 es
3
El volumen 𝑉 𝑒𝑛𝑐
encerrado por la superficie gaussiana es
𝑒𝑛𝑐
3
Entonces, la cantidad de carga encerrada por la superficie gaussiana es
𝑒𝑛𝑐
𝑒𝑛𝑣
3
×
3
𝑅
𝑟
𝑟
Figura 2.13 Magnitud del campo eléctrico de una esfera aislante con carga uniforme.
0
2
0
2
0
3
Ejemplo 2.5 8 Campo eléctrico de un filamento con carga uniforme
Simetría cilíndrica
Entre las distribuciones de carga con simetría cilíndrica están las líneas infinitamente
largas, las barras (cilindros macizos), los tubos (cascarones cilíndricos), etc. y las capas
concéntricas de estos objetos.
Figura 2.14 Un filamento muy largo con una distribución uniforme de carga positiva. Las
líneas de campo son radiales hacia afuera, y están uniformemente distribuidas a lo largo del
hilo (naranja). Una superficie imaginaria (morada) de Gauss rodea al filamento.
Planteamiento: Para problemas con simetría cilíndrica se toma, como superficie de Gauss,
una superficie cilíndrica de radio 𝑟 (donde se quiere conocer 𝐸) y alguna longitud 𝐿
arbitraria. La superficie cilíndrica cerrada se compone de dos círculos, tapa 1 y fondo 2 y
un lado curvo 3. Como el campo eléctrico es radial, es paralelo a las superficies circulares
de tapa y fondo, por lo que esas superficies aportan cero al flujo neto.
El flujo total es
𝑇
𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙
𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙
Ejemplo 2. 68 Campo eléctrico de un cascaron cilíndrico
Un cascaron aislante grueso, cilíndrico, con radio interior 𝑎 y radio exterior 𝑏 tiene una
carga distribuida en su volumen, con densidad uniforme de carga volumétrica 𝜌, como se
ve en la figura 2. 15 𝑎. Determine el campo eléctrico en las tres regiones: a) 𝑟 ≤ 𝑎, b) 𝑎 ≤
𝑟 ≤ 𝑏 y c) 𝑟 ≥ 𝑏
a) b) c)
Figura 2.15 a) Un cascaron cilíndrico infinito (azul) con radio interior 𝑎 y radio exterior 𝑏,
con una distribución volumétrica uniforme de carga positiva. Las líneas de campo se
dirigen radialmente hacia afuera. Para determinar el campo eléctrico a distintos radio, se
establecen superficies gaussianas cilíndricas (morada) de diferentes radios. b) 𝑟 < 𝑎, c) 𝑎 ≤
Planteamiento : El campo eléctrico como se describió en el problema anterior es radial y de
magnitud constante, para cualquier radio dado 𝑟. Así, la Ley de Gauss, simetría cilíndrica,
siempre es
𝐸 × ( 2 𝜋𝑟𝐿) =
𝑒𝑛𝑐
0
a) 𝑟 ≤ 𝑎. La superficie Gaussiana no encierra cargas (Figura 2. 15 𝑏). Así, 𝑄
𝑒𝑛𝑐
por tanto la Ley de Gauss
𝐸 ×
0
b) 𝑎 ≤ 𝑟 ≤ 𝑏. Considérese una superficie gaussiana cilíndrica, con su lado curvo
dentro del cascarón, como en la figura 2. 15 𝑐. En función de la densidad volumétrica
de carga, 𝜌,
𝑖𝑛𝑡
𝑖𝑛𝑡
𝑎
𝑏
𝑎
𝑎
𝑏
𝑟
𝑟
𝑟 ≤ 𝑎 𝑎 ≤ 𝑟 ≤ 𝑏
𝑏
𝐸
⃗
𝐸
⃗
Para calcular 𝑉 𝑖𝑛𝑡
solo se debe incluir el volumen que realmente contenga carga (y que esté
dentro del radio 𝑟). El volumen de la superficie Gaussiana es 𝜋𝑟
2
, de sus extremos, por su
longitud 𝐿; si se resta el volumen que está vacío, entonces
𝑖𝑛𝑡
2
2
2
2
𝑖𝑛𝑡
2
2
Aplicando la ley de Gauss
𝐸 × ( 2 𝜋𝑟𝐿) =
𝑒𝑛𝑐
0
2
2
0
2
2
0
2
2
0
2
2
0
0
2
c) 𝑟 ≥ 𝑏. En este caso la superficie Gaussiana esta fuera del cascarón (Figura 2. 15 𝑑).
La carga interior se obtiene usando sólo el volumen que contiene la carga (es el
volumen del cascaron cargado, porque se excluye el volumen vacío dentro y fuera
del cascarón):
𝑖𝑛𝑡
𝑖𝑛𝑡
𝑖𝑛𝑡
2
2
2
2
𝑖𝑛𝑡
2
2
Aplicando la ley de Gauss
𝐸 ×
𝑒𝑛𝑐
0
2
2
0
2
2
0
2
2
0
2
2
0
2
2
0
Nótese la dependencia de
1
𝑟
de este campo eléctrico fuera de la distribución de carga con
simetría cilíndrica. En realidad, la ecuación ( 2. 22 ) es idéntica al resultado del filamento
