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Estadística Descriptiva
Módulo: Estadística Básica y Probabilidad
FORMULARIO COMPLETO DE ESTADÍSTICA DESCRIP-
TIVA + RESUMEN CONCEPTUAL (¡LISTO PARA IM-
PRIMIR!)
Tu guía de referencia rápida para las fórmulas y conceptos esenciales de Estadística Descriptiva.
1. SIMBOLOGÍA UTILIZADA
Símbolo Significado 𝑛 Tamaño muestral 𝑁 Tamaño poblacional 𝑥 1 , 𝑥 2 , … , 𝑥𝑛 Valores individuales de la variable 𝑥𝑖 Valor individual o marca de clase en datos agrupados 𝑓𝑖 Frecuencia absoluta del valor 𝑥𝑖 ℎ𝑖 Frecuencia relativa (𝑓𝑖/𝑛) 𝐹𝑖 Frecuencia absoluta acumulada hasta el valor 𝑥𝑖 𝐻𝑖 Frecuencia relativa acumulada hasta el valor 𝑥𝑖 ∑ Operador sumatorio 𝑥̄ Media muestral 𝜇 Media poblacional Me Mediana Mo Moda 𝑠^2 Varianza muestral 𝜎^2 Varianza poblacional 𝑠 Desviación típica muestral 𝜎 Desviación típica poblacional CV Coeficiente de variación 𝑅 Rango o amplitud
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Símbolo Significado 𝑄 1 , 𝑄 2 , 𝑄 3 Cuartiles (primer, segundo y tercer cuartil) 𝑃𝑘 Percentil 𝑘 𝑎𝑖 Amplitud del intervalo 𝑖-ésimo en datos agrupados 𝐿𝑖 Límite inferior del intervalo 𝑖-ésimo 𝐿𝑠 Límite superior del intervalo 𝑖-ésimo RIC Rango intercuartílico (𝑄 3 − 𝑄 1 )
2. MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
2.1 Media Aritmética
Concepto: La media representa el valor promedio del conjunto de datos. Es sensible a valores extremos y considera todos los valores para su cálculo.
Para datos no agrupados:
𝑥 = ̄^1 𝑛
𝑛 ∑ 𝑖=1^ 𝑥𝑖^ =
𝑥 1 + 𝑥 2 + … + 𝑥𝑛 𝑛
Para datos agrupados:
𝑥 = ̄
∑𝑘𝑖=1 𝑓𝑖 ⋅ 𝑥𝑖 ∑𝑘𝑖=1 𝑓𝑖
=
∑𝑘𝑖=1 𝑓𝑖 ⋅ 𝑥𝑖 𝑛
Donde 𝑥𝑖 representa la marca de clase del intervalo 𝑖-ésimo.
2.2 Mediana (Me)
Concepto: La mediana es el valor central de un conjunto de datos ordenados. Divide la distribución en dos partes iguales y es robusta frente a valores extremos.
Para datos no agrupados: - Si 𝑛 es impar: Me = valor en la posición 𝑛+1 2 - Si 𝑛 es par: Me = promedio de los valores en las posiciones 𝑛 2 y 𝑛 2 + 1
Para datos agrupados:
Me = 𝐿𝑖 + (
𝑛 2 − 𝐹𝑖− 𝑓𝑖 )
⋅ 𝑎𝑖
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𝑠^2 = 1 𝑛 − 1
𝑛 ∑ 𝑖=
(𝑥𝑖 −̄ 𝑥)^2
Varianza poblacional (datos agrupados):
𝜎^2 =^1 𝑁
𝑘 ∑ 𝑖=1^ 𝑓𝑖(𝑥𝑖^ − 𝜇)
2
Varianza muestral (datos agrupados):
𝑠^2 = 1 𝑛 − 1
𝑘 ∑ 𝑖=
𝑓𝑖(𝑥𝑖 −̄ 𝑥)^2
3.3 Desviación Típica (Estándar)
Concepto: La desviación típica es la raíz cuadrada de la varianza. Se expresa en las mismas unidades que los datos originales, lo que facilita su interpretación.
Desviación típica poblacional:
𝜎 = √𝜎^2
Desviación típica muestral:
𝑠 = √𝑠^2
3.4 Coeficiente de Variación (CV)
Concepto: El CV permite comparar la dispersión relativa entre distintos conjuntos de datos, incluso con diferentes unidades de medida o diferentes medias.
CV = 𝑠̄ 𝑥
⋅ 100%
3.5 Rango Intercuartílico (RIC)
Concepto: Mide la dispersión del 50% central de los datos, eliminando la influencia de valores extremos.
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RIC = 𝑄 3 − 𝑄 1
4. MEDIDAS DE POSICIÓN
4.1 Cuartiles
Concepto: Los cuartiles dividen el conjunto de datos ordenados en cuatro partes iguales. 𝑄 1 , 𝑄 2 y 𝑄 3 representan los valores por debajo de los cuales se encuentra el 25%, 50% y 75% de los datos, respectivamente.
Para datos no agrupados: - 𝑄 1 = valor en la posición 𝑛⋅ 14 (primer cuartil) - 𝑄 2 = Me
= valor en la posición 𝑛 ⋅ 24 (segundo cuartil = mediana) - 𝑄 3 = valor en la posición
𝑛 ⋅ 34 (tercer cuartil)
Para datos agrupados:
𝑄𝑗 = 𝐿𝑖 + (
𝑗⋅𝑛 4 − 𝐹𝑖− 𝑓𝑖 )
⋅ 𝑎𝑖
Donde 𝑗 = 1, 2, 3 para 𝑄 1 , 𝑄 2 y 𝑄 3 respectivamente.
4.2 Percentiles
Concepto: Los percentiles dividen la distribución en 100 partes iguales. El percentil 𝑘 (𝑃𝑘) indica el valor por debajo del cual se encuentra el 𝑘% de las observaciones.
Para datos no agrupados: - 𝑃𝑘 = valor en la posición 100 𝑘⋅𝑛
Para datos agrupados:
𝑃𝑘 = 𝐿𝑖 + (
𝑘⋅𝑛 100 − 𝐹𝑖− 𝑓𝑖 )
⋅ 𝑎𝑖
Donde: - 𝐿𝑖 = límite inferior del intervalo que contiene el percentil 𝑘 - 𝐹𝑖−1 = fre- cuencia acumulada anterior al intervalo del percentil - 𝑓𝑖 = frecuencia absoluta del intervalo que contiene el percentil - 𝑎𝑖 = amplitud del intervalo
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Moda (Mo)
Valor que ocurre con mayor frecuencia. Útil para identificar el valor más típico o común. Es la única medida de tendencia central apropiada para variables cualitativas.
Varianza ( 𝑠^2 , 𝜎^2 )
Mide la dispersión promedio de los valores respecto a la media. A mayor varianza, mayor heterogeneidad en los datos. Su unidad de medida es el cuadrado de la unidad de la variable.
Desviación Típica ( 𝑠 , 𝜎 )
Raíz cuadrada de la varianza. Mide la dispersión en las mismas unidades que los datos originales, representando la desviación promedio respecto a la media.
Coeficiente de Variación (CV)
Permite comparar la dispersión relativa entre diferentes distribuciones cuando tienen diferentes medias o unidades de medida. Se expresa como porcentaje.
Cuartiles ( 𝑄 1 , 𝑄 2 , 𝑄 3 )
Dividen la distribución en cuatro partes iguales, cada una conteniendo el 25% de los datos. 𝑄 2 coincide con la mediana. Útiles para analizar la distribución y detectar valores atípicos.
Rango Intercuartílico (RIC = 𝑄 3 − 𝑄 1 )
Mide la dispersión del 50% central de los datos, eliminando la influencia de valores extremos. Usado para detectar valores atípicos (outliers).
Asimetría ( 𝑔 1 )
Indica si la distribución tiene cola hacia la derecha (positiva), hacia la izquierda (neg- ativa) o es simétrica (cero). Afecta la relación entre media, mediana y moda.
Curtosis ( 𝑔 2 )
Mide la concentración de datos en la zona central comparada con una distribución normal. Mayor curtosis indica mayor concentración de valores cercanos a la media y colas más pesadas.
