Ejercicios resueltos matemáticas VII
Distribución de Dirac
Definimos delta de Dirac 𝛿:𝐶𝑜
∞(ℝ)=𝐷(ℝ)→ℂ
𝜑→〈𝛿,𝜑〉=𝜑(0)
Propiedades
• 〈𝛿,𝜑+𝜓〉=(𝜑+𝜓)(0)=𝜑(0)+𝜓(0)=〈𝛿,𝜑〉+〈𝛿,𝜓〉
• 〈𝛿,𝛼𝜑〉=(𝛼𝜑)(0)=𝛼𝜑(0)=𝛼〈𝛿,𝜑〉 para 𝛼 𝜖 ℂ
Suponiendo que 𝛿 está centrada en 𝑎 𝜖 ℝ se denota como:
𝛿𝑎=𝛿(𝑥−𝑎)
Donde se cumplen las igualdades
• 〈𝛿𝑎,𝜑〉=〈𝛿(𝑥−𝑎),𝜑〉=𝜑(𝑎)
• 〈𝛿𝑎,𝜑〉=〈𝛿(𝑥−𝑎),𝜑〉=∫𝛿(𝑥−𝑎)𝜑(𝑥)𝑑𝑥
∞
−∞ =𝜑(𝑎)
Producto de una función 𝜓 𝜖 𝐶𝑜
∞(ℝ) con una 𝐹 𝜖 𝐷′(ℝ)
〈𝜓𝐹,𝜑〉=〈𝐹,𝜓𝜑〉
Derivada de funciones generalizadas para funciones suaves a trozos
Definición de derivada generalizada
𝑓′𝑔𝑒𝑛(𝑥)=𝑓′𝑐𝑙𝑎𝑠𝑖𝑐𝑎(𝑥)+∑𝑠𝑓(𝑎𝑘)𝛿(𝑥−𝑥𝑘)
𝑛
𝑘=1
Donde 𝑠𝑓(𝑎𝑘)=𝑓(𝑎𝑘
+)−𝑓(𝑎𝑘
−)
Propiedades 〈𝑓(𝑘),𝜑〉=(−1)𝑘〈𝑓,𝜑𝑘〉
〈𝛿𝑎,𝜑〉=〈𝛿(𝑥−𝑎),𝜑〉=𝜑(𝑎)
