Departamento de Tecnología Electrónica
e Ingeniería de Sistemas y Automáca
José Ramón Llata García
Esther González Sarabia
Dámaso Fernández Pérez
Carlos Torre Ferrero
María Sandra Robla Gómez
Capítulo 5. Estabilidad
Ejercicios
Automáca
Prepara tus exámenes
Prepara tus exámenes y mejora tus resultados gracias a la gran cantidad de recursos disponibles en Docsity
Consigue puntos base para descargar
Gana puntos ayudando a otros estudiantes o consíguelos activando un Plan Premium
Orientación Universidad
Prepara tus exámenes
Prepara tus exámenes y mejora tus resultados gracias a la gran cantidad de recursos disponibles en Docsity
Busca documentos
Prepara tus exámenes con los documentos que comparten otros estudiantes como tú en Docsity
Busca documentos en el Store
Los mejores documentos en venta realizados por estudiantes que han terminado sus estudios
Video Cursos
Estudia con lecciones y exámenes resueltos basados en los programas académicos de las mejores universidades
Quiz
Responde a preguntas de exámenes reales y pon a prueba tu preparación
Consigue puntos base para descargar
Gana puntos ayudando a otros estudiantes o consíguelos activando un Plan Premium
Comunidad
Pregúntale a la comunidad
Pide ayuda a la comunidad y resuelve tus dudas de estudio
Ranking de las universidades
Descubre las mejores universidades de tu país según los usuarios de Docsity
Ebooks gratuitos
¡Nuestros e-books salva-estudiantes!
Descarga nuestras guías gratuitas sobre técnicas de estudio, métodos para controlar la ansiedad y consejos para la tesis preparadas por los tutores de Docsity
Estabilidad de Sistemas Continuos: Ejercicios Resueltos, Ejercicios de Sistemas Operativos
Ejercicios resueltos sobre la estabilidad de sistemas continuos, con enfoque en la tabla de routh y la ecuación característica. Se estudian diferentes sistemas y se calculan sus valores de estabilidad, así como se determinan los rangos de valores de k que hacen estable al sistema. Útil para estudiantes de ingeniería de sistemas y automática.
Tipo: Ejercicios
2023/2024
1 / 13
Esta página no es visible en la vista previa
¡No te pierdas las partes importantes!
Documentos relacionados
Vista previa parcial del texto
¡Descarga Estabilidad de Sistemas Continuos: Ejercicios Resueltos y más Ejercicios en PDF de Sistemas Operativos solo en Docsity!
DepartamentodeTecnologíaElectrónica
eIngenieríadeSistemasyAutomáƟca
JoséRamónLlataGarcía
EstherGonzálezSarabia
DámasoFernándezPérez
CarlosTorreFerrero
MaríaSandraRoblaGómez
Capítulo 5 .Estabilidad
Ejercicios
AutomáƟca
Problemas de Ingeniería de Sistemas: Sistemas Continuos. Conceptos básicos.
EJERCICIO 5.1.
Estudiar la estabilidad del sistema cuya ecuación característica es la siguiente:
F( s) s s 10 s 72 s 152 s 240 5 4 3 2
- No falta ningún término.
- No existe ningún coeficiente negativo.
Tabla de Routh:
s 240 0 0
s 122. 6 0 0
s 70. 6 240 0
s 62 88 0
s 1 72 240
s 1 10 152
0
2
3
4
5
- 2 cambios de signo en 1ª columna:
2 raíces a la derecha Inestable.
EJERCICIO 5.2.
Estudiar la estabilidad del sistema cuya ecuación característica es la siguiente:
F( s) s 2 s 2 s 4 s 11 s 10 0
5 4 3 2
- No falta ningún término.
- No existe ningún coeficiente negativo.
Tabla de Routh:
0
2
3
4
5
s
s
s
s 0 6
s 2 4 10
s 1 2 11
-Cambio s=1/x:
x
x
x
x
x
F(s)
5 4 3 2 ^
Problemas de Ingeniería de Sistemas: Sistemas Continuos. Conceptos básicos.
EJERCICIO 5.4.
Calcular los valores de K y a que hacen estable al sistema definido por la siguiente
función:
s 6 s 11 s (K 6 )s Ka
M( s) 4 3 2
Ecuación característica:
s 6 s 11 s (K 6 )s Ka 0 4 3 2
Routh:
s Ka
10 K 6
6 Ka s k 6
Ka 6
K
s 10
s 6 K 6
s 1 11 Ka
0
2
3
4
K y a deben tener igual signo.
0 k 60 6
K
0 (K 40 )
10 K 6
6 Ka K 6 a^ ^0.^63
EJERCICIO 5.5.
Comprobar mediante Routh, para el sistema cuya ecuación característica es la siguiente,
que no tiene polos a la derecha del punto -1.
s 4 s 6 s 4 0
3 2
Cambio z=s+1:
( z 1 ) 4 (z 1 ) 6 (z 1 ) 4 0 3 2
z z z 1 0 3 2 Routh:
z 0 0
z 1 1
z 1 1 2
3
Estabilidad
Ec. Auxiliar: z 1 0 2 z 0 0 2
z 1
z 2
z 1 1
z 1 1
0
2
3
No tiene polos a la derecha de –1. Estable.
EJERCICIO 5.6.
Tenemos un sistema de control dado por la siguiente estructura:
k (^) G(s)
R(s) E(s)^ C(s) Y(s)
Donde:
s s 2 s 3
s 2 s 4 G( s) 3 2
2
Calcular los valores de K que son límites de estabilidad del sistema.
La función de transferencia del sistema completo es:
1 K G(s)
K G(s) M( s)
La ecuación característica del sistema corresponde con el denominador de la función de
transferencia de lazo cerrado:
1 KG(s) 0
s s 2 s 3
s 2 s 4 1 K 3 2
2
s s 2 s 3 K (s 2 s 4 ) 0
3 2 2
s (K 1 )s ( 2 2 K)s 3 4 K 0
3 2
s
3 1 2+2K
s 2 1+K 3+4K
s 1
K 1
2 K 1
2
s 0 3+4K
Estabilidad
1) K > 0
2) 2K + 1 > 0 K > -0.
3) 50 8 K 0 K 6 25.
4) ^16 ^11 ^50 ^0
2 K K 145. K2 14.
Luego el rango de valores de K que cumple todas las condiciones anteriores es:
0 K 2. 4
EJERCICIO 5.8.
Para el sistema del ejercicio 1.9. calcular la estabilidad del sistema de lazo cerrado. Calcular el rango de valores posibles para una ganancia K que se añade en la cadena
directa tal que el lazo cerrado siga siendo estable.
En el ejercicio 1.9. se llegó a que el diagrama de bloques del sistema era:
E (s)
a
E(s)
(s)
m
(s)
c
Amplific. Motor Engrane
(s)
r
+
-
G(s)
Y la función de transferencia de lazo abierto:
s(s 50. 5 s 1725 )
G (s) 2
Y la función de transferencia de lazo cerrado:
s 50. 5 s 1725 s 50000
1 G(s)
G(s) M (s) 3 2
Se puede saber que el sistema es estable comprobando que todos sus polos están a la
izquierda del plano complejo, se va a aplicar la técnica de Routh para comprobarlo.
Ecuación característica del sistema:
s 50. 5 s 1725 s 50000 0
3 2
Problemas de Ingeniería de Sistemas: Sistemas Continuos. Conceptos básicos.
s
s
s
s
3
2
0
Podemos comprobar que no se produce ningún cambio de signo en la primera columna,
luego no existe ningún polo en el semiplano derecho. Por lo tanto el sistema es estable.
Para calcular el rango de la ganancia K a añadir se tiene una nueva ecuación característica
del sistema:
s 50. 5 s 1725 s 50000 K 0 3 2
s 50000 K
s 1725 990. 1 K 0
s 50. 5 50000 K
s 1 1725
0
2
3
De la ecuación en so obtenemos la primera condición: K 0
Y de la ecuación en s obtenemos el límite alto: 1725 990. 1 K 0 K=17.
Luego los valores de ganancia que hacen estable al sistema están en el intervalo:
0 K 17. 4
EJERCICIO 5.9.
Para el sistema del ejercicio 3.8.
D(s) s 0. 4 s 04
2
Planta G1(s)
Estabilizador G 2 (s)
s a
s 1
P(s)
R(s)
_ + _
Regulador E(s) (^) Ys)
Considerando D(s) = 1, calcular el rango de valores del polo del estabilizador ‘a’ para los
que el sistema total es estable.
Considerando en primer lugar como entrada R(s) y como salida Y(s).
Problemas de Ingeniería de Sistemas: Sistemas Continuos. Conceptos básicos.
a 0. 1931
a 75 , 59
Representando gráficamente estas desigualdades se tiene:
-75.59 0.
-0.
-0.
Puede observarse que el rango de k que cumple todas las condiciones es:
k 0. 1931
Si se considera ahora el sistema viendo como entrada Td(s) y como salida Y(s) se obtiene
la misma función de transferencia y por tanto las mismas condiciones para la estabilidad.
EJERCICIO 5.10.
Para el sistema del ejercicio 4.13. calcular el rango de valores de K (ganancia del
amplificador) que hacen estable al sistema.
s 16 s 100
2
s 0. 25
K
s 10
Er
Amplificador diferencial Actuador^ Planta
Sensor
G s K s s s
K
s s s
T ( )^
2 2
H s s
GT (s)
H(s)
E (^) r (^) 0
Estabilidad
Se construye la tabla de Routh:
s
4 1 266.5 250+25K
s 3 26.25 1065
s 2 225.9 250+25K
s
1 A
s
0 250+25K
1035. 95 2. 91 K
26. 25 ( 250 25 K)
A 1065
250+25K=0 K=-
1035.95-2.9K=0 K=
luego
10 K 356
EJERCICIO 5.11.
Para el sistema control cuyo diagrama de bloques se muestra en la figura determinar el
rango de ganancias K para los que es estable.
K G(s)
H(s)
X(s) E(s) U(s) Y(s)
s 4 s 5
3 (s 0. 66 ) G (s) 2
(2s 8)(s 6)
H(s)
Ecuación característica: 1 KG(s)H(s) 0
(s 4 )(s 6 )
s 4 s 5
3 s 2 1 K 2
(s 4 s 5 )(s 4 )(s 6 ) 5 K( 3 s 2 ) 0
2
s 14 s 69 s 146 s 120 5 K( 3 s 2 ) 0 4 3 2
Estabilidad
EJERCICIO 5.12.
Para el sistema del ejercicio 1.16. cuyo diagrama de bloques se presenta a continuación,
analizar la estabilidad.
Resolviendo el lazo interno se tiene:
(s 0. 2 )( 2 s 0. 01755 ) 0. 07 (s 0. 01 )
- 07 (s 0. 01 )
(s 0. 2 )( 2 s 0. 01755 )
- 07 (s 0. 01 ) 1
(s 0. 2 )( 2 s 0. 01755 )
- 07 (s 0. 01 )
M 1 (s)
2 s 0. 48755 s 0. 00421
- 07 (s 0. 01 ) M (s) (^1 )
Y cerrando el lazo exterior:
2 s 0. 01755
2 s 0. 48755 s 0. 00421
- 07 (s 0. 01 ) 1
2 s 0. 01755
2 s 0. 48755 s 0. 00421
- 07 (s 0. 01 )
M (s)
2
2 2
( 2 s 0. 48755 s 0. 00421 )( 2 s 0. 01755 ) 0. 07 (s 0. 01 ) 0. 01755
- 07 (s 0. 01 )( 2 s 0. 01755 ) M (s) (^2 )
4 s 1. 0102 s 0. 018205 s 0. 000086
- 07 (s 0. 01 )( 2 s 0. 01755 ) M (s) (^2 )
Cuyos polos se encuentran en:
s 0. 233
s 0. 0096 j 0. 001
3
1 , 2
Como todos los polos se encuentran en el semiplano izquierdo el sistema es estable.
Puede verse también la estabilidad mediante la tabla de Routh:
s 3 4 0.
s
4 1.0102 0.
s
1
s
0
Como no se produce ningún cambio de signo en la primera columna el sistema es estable.
+_
H 1 (s) (^) H 2 (s)
2 s 0. 01755
+_ (s 0. 2 )( 2 s 0. 01755 )
- 07 (s 0. 01 )
R(s)