Ecuaciones Diferenciales: Introducción, Origen y Solución, Apuntes de Matemáticas

¡Descarga Ecuaciones Diferenciales: Introducción, Origen y Solución y más Apuntes en PDF de Matemáticas solo en Docsity!

ECUACIONES DIFERENCIALES

AVISO LEGAL

Derechos Reservados  2012, por RED TERCER MILENIO S.C.

Viveros de Asís 96, Col. Viveros de la Loma, Tlalnepantla, C.P. 54080, Estado de México.

Prohibida la reproducción parcial o total por cualquier medio, sin la autorización por escrito del titular de los derechos.

Datos para catalogación bibliográfica

Enrique Rafael Espinosa Sánchez

Ecuaciones diferenciales

ISBN 978-607-733-115-

Primera edición: 2012

DIRECTORIO

Bárbara Jean Mair Rowberry Directora General

Rafael Campos Hernández Director Académico Corporativo

Jesús Andrés Carranza Castellanos Director Corporativo de Administración Héctor Raúl Gutiérrez Zamora Ferreira Director Corporativo de Finanzas Ximena Montes Edgar Directora Corporativo de Expansión y Proyectos

INDICE

Introducción

Mapa conceptual

UNIDAD 1. Ecuaciones diferenciales

OBJETIVO 9

TEMARIO 9

MAPA CONCEPTUAL 10

INTRODUCCIÓN 11

1.1 DEFINICIÓN DE ECUACIÓN DIFERENCIAL 12

ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE 14

1.2 ORIGEN DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES 14

ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE 16

1.3 SOLUCIÓN DE UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL 15

ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE 19

AUTOEVALUACION 20

RESPUESTAS AUTOEVALUACION 22

UNIDAD 2. ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN

OBJETIVO 27

TEMARIO 27

• MAPA CONCEPTUAL
• INTRODUCCION
• 2.1 ECUACIONES DIFERENCIALES DE VARIABLES SEPARABLES
• ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE
• ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE
• 2.3 ECUACIONES DIFERENCIALES EXACTAS
• ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE
• 2.4 USO DEL FACTOR INTEGRANTE
• ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE
• 2.5 ECUACIÓN DE BERNOULLI
• ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE
• ORDEN 2.6 APLICACIÓN DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER
• ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE
• AUTOEVALUACION
• RESPUESTAS AUTOEVALUACION
• OBJETIVO UNIDAD 3. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
• TEMARIO
• MAPA CONCEPTUAL
• INTRODUCCION
• 3.1 ECUACIONES HOMOGÉNEAS Y NO HOMOGÉNEAS
• ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE
• SOLUCIÓN CONOCIDA 3.2 SOLUCIÓN DE UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL A PARTIR DE UNA
• ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE
• 3.3 EL WRONSKIANO
• ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE
• 3.4 VARIACIÓN DE PARÁMETROS
• ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE
• 3.5 ECUACIÓN DE CAUCHY EULER
• ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE
• 3.6 SERIES DE POTENCIA
• ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE
• AUTOEVALUACION
• RESPUESTAS AUTOEVALUACION
• OBJETIVO UNIDAD 4. TRANSFORMADAS DE LAPLACE
• TEMARIO
• MAPA CONCEPTUAL
• INTRODUCCION
• 4.1 DEFINICIÓN DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE
• ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE
• 4.2 TRANSFORMADA DIRECTA E INVERSA DE LAPLACE
• ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE
• TRANSFORMADAS DE LAPLACE 4.3 SOLUCIÓN DE UN SISTEMA DE ECUACIONES CON LAS
• ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE
• AUTOEVALUACION
• RESPUESTAS AUTOEVALUACION
• Bibliografía
• Glosario

Los temas curriculares de esta materia pretenden que al finalizar el curso el estudiante sepa aplicar los conocimientos adquiridos a la carrera profesional que estudia.

MAPA CONCEPTUAL

MAPA CONCEPTUAL

INTRODUCCIÓN

En esta unidad se describe la definición de una ecuación diferencial, su origen y la solución, para comprender los problemas matemáticos en los cuales se ven implicadas las ecuaciones diferenciales. Las ecuaciones diferenciales tienen una relación con fenómenos físicos, químicos, eléctricos, etcétera, los cuales han requerido una explicación de forma matemática. El alumno aprenderá que las ecuaciones diferenciales se clasifican según su tipo, orden y linealidad, conceptos esenciales que le ayudarán a plantear problemas con diferente grado de dificultad.

Normalmente escribimos y  f ( x ) y llamamos a x la variable

independiente, y a y la variable dependientes de x. Para sintetizar la

denotación de (^) y en x en una función y  f ( x ), simplemente podemos escribir

y ( x ) y sus derivadas sucesivas por y ' ( x ), y ''( x ),..., yn ( x ) , o también

únicamente y ', y '',..., yn.

En otro caso, si la función desconocida depende de más de una variable, es decir, que las derivadas sean derivadas parciales, la ecuación se llama ecuación diferencial parcial. Por ejemplo:

 x V (^)   yV 2  V 2 2

2 2

V es la función desconocida de las dos variables independientes x y y es una

ecuación diferencial parcial. Se escribe (^) V  F ( x , y )para hacer más claro que x

y y son las variables independientes y V es la variable dependiente, de

manera más sencilla para marcar que se trata de una ecuación diferencial parcial, denotamos el valor de V en x y (^) y por (^) V ( x , y ).

Clasificación según su orden: el orden de una educación diferencial ya sea ordinaria o parcial, es el orden de la derivada más alta que aparece en la ecuación. Por ejemplo: y ´  2 x  y El orden de esta ecuación diferencial es de primer orden ya que sólo tiene una derivada de y con respecto a x.

2 6 0

2  ddxy  dxdy  y  El orden de esta ecuación diferencial es de segundo orden, de y con

respecto a x.

 x V (^)   yV 2  V 2 2

2 2

Esta ecuación diferencial es parcial, note que ambas derivadas son de segundo orden, por tanto, la ecuación diferencial es una ecuación diferencial de segundo orden.

Clasificación según su linealidad: una ecuación diferencial es lineal cuando puede ser escrita de la forma a 0 (^) ( x ) y ( n^ ) a 1 ( x ) y ( n ^1 ).. an  1 ( x ) y ' an ( x ) y  F ( x ) donde F ( x ) y los coeficientes a , ( x ), a 1 ( x ),.., a ,( x ) son funciones dadas de x y a , ( x ) no es idéntica a cero.

Por ejemplo: ( y  x ) dx  4 xdy  0 y ´´ 2 y ´ y  0 Cuando una ecuación diferencial no puede ser escrita de la forma anterior, se dice que es una ecuación no-lineal. Por ejemplo:

( 1  y ) y ´ 2 y  ex^22  44  y^2  0 dx send y dx

d y

ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE

Indicar si las siguientes ecuaciones diferenciales son lineales o no lineales

1. yy ´  2 y  1  x^2
2. (1-x)y´´-4xy´+5y=cosx
3. x^2  dy ( y  xy  xex ) dx  0

2 r

k dt

d r 

5.( 1  y^2 ) dx  xdy  0

1.2 ORIGEN DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES

La Mecánica es la más antigua de las ciencias físicas, los escritos más vetustos a cerca de esta materia se deben a Arquímedes (287-212 a.C.), referentes al

Liapunov y Poincaré aportaron métodos y conceptos fundamentales de las ecuaciones diferenciales lineales y no lineales. Galileo fue el pionero en estudiar el comportamiento del movimiento del péndulo. Todos aquellos matemáticos que tratado de modelar problemas de físicos, químicos, electrónicos, etc., han contribuido al desarrollo histórico de las ecuaciones diferenciales, a pesar de que en la recopilación de los estudios y tratados para conocer el origen de las ecuaciones diferenciales se discrimina las aportaciones de algunos matemáticos.

ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE

Realizar una investigación documental sobre el origen de las Ecuaciones Diferenciales con la bibliografía señalada, para que el alumno tenga mayores referencias de las aportaciones de algunos matemáticos que se pudieron haber omitido en este trabajo.

1.3 SOLUCIÓN DE UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL

Una solución de una ecuación diferencial es cualquier función que satisface la ecuación, esto es, la reduce a una identidad. Cuando una función , definida en algún intervalo I , se sustituye en una

ecuación diferencial y transforma esa ecuación en una identidad, se dice que es una solución de la ecuación en el intervalo. Una solución de una ecuación diferencial ordinaria como la ecuación

F ( x , y , y ´,..., y (^ n )) 0

es una función  con al menos n derivadas y

F ( x ,( x ),´( x ),..., (^ n )( x )) 0

para todo x en I.

Se dice que y  ( x )satisface la ecuación diferencial. El intervalo

I puede ser intervalo abierto, (a, b), cerrado, [a,b], infinito ( a ,), etcétera. Ejemplo 1. Sea la función y  xex una solución de la ecuación lineal y ' ' 2 y ' y  0

en el intervalo ( ,).

Solución: sustituyendo y ´ xex^  ex

y y ´´ xex^  2 ex

obtenemos

y ´´ 2 y ´ y ( xex^  2 ex ) 2 ( xex  ex ) xex  0 Ejemplo 2. La ecuación

2 2 15 0

2 ddtx  dxdt  x 

Sean las funciones x  e^5 t y x  e ^3 t soluciones de la ecuación ya que al sustituir dan por resultado:

25 e^5 t^  2 ( 5 e^5 t ) 15 e^5 t  0 9 e ^3 t^  2 ( 3 e ^3 t ) 15 e ^3 t  0 Ejemplo 3. La función definida por: V  e^3 x^ sen 2 y

es una solución de la ecuación

 x V (^)   yV 2  V 2 2

2 2

debido a que sustituyendo encontramos la identidad: 9 e^3 x^^ sen 2 y  2 ( 4 e^3 xsen 2 y ) e^3 xsen 2 y La solución de ecuaciones diferenciales se divide en soluciones explícitas e implícitas. Las soluciones explícitas son aquellas en la variable dependiente se expresa tan solo en términos de la variable independiente y constantes. Las soluciones implícitas son aquellas en las que la ecuación