SOLUCIONARIO 1er PARCIAL
CURSO INTENSIVO DE VERANO 2022
ECUACIONES DIFERENCIALES - MAT 207
1. Para la ecuación diferencial:
𝑦′+𝑦2+7𝑦
𝑥+9
𝑥2=0
a) Resolver la ecuación diferencial si se sabe que una solución particular es de la forma:
𝑦𝑝=𝐴
𝐵𝑥+𝐶
b) Demostrar que en una ecuación diferencial tipo Ricatti: 𝑦′+𝑎2(𝑥)𝑦2+𝑎1(𝑥)𝑦+𝑎0(𝑥)=0
el cambio de variable 𝑦=(1
𝑎2(𝑥))𝑧′
𝑧 transforma a la ecuación diferencial dada en una
ecuación diferencial de segundo orden.
SOLUCIÓN:
Podemos reemplazar 𝑦𝑝=𝐴
𝐵𝑥+𝐶 en la Ecuación Diferencial tenemos una solución admisible
que será:
𝑦𝑝=−3
𝑥
Cambio de variable:
𝑦=−3
𝑥+1
𝑢⟹𝑦′=3
𝑥2−𝑢′
𝑢2
Reemplazando:
𝑢′−1
𝑥𝑢=1 ⟹𝑢 =𝑥𝑙𝑛𝑥 + 𝐶𝑥
𝑦=−3
𝑥+1
𝑥(𝑙𝑛𝑥+𝐶)
b) Reemplazando con el cambio propuesto: 𝑦= 1
𝑎2∙𝑧′
𝑧
𝑎2𝑧𝑧′′ −𝑧′(𝑎2𝑧′+𝑧𝑎′2)
(𝑎2𝑧)2+𝑎2(𝑧′
𝑎2𝑧)2+𝑎1(𝑧′
𝑎2𝑧)+𝑎0=0
𝑎2𝑧′′ +(𝑎1𝑎2−𝑎′2)𝑧′+𝑎0𝑎2
2𝑧=0
