Download Slide môn đại số tuyến tính and more Summaries Mathematics in PDF only on Docsity!

Bài giảng

Đại số tuyến tính

(Số tín chỉ: 03)

Dùng cho sinh viên khối ngành Kỹ thuật-Công nghệ

Nguyễn Văn Thành

Khoa Toán và Thống kê, Đại học Quy Nhơn

September 28, 2021

(Đây là bản thảo của bài giảng)

4.3.3 Cách kiểm tra một hệ là cơ sở trong R n

• 1 Tập hợp và ánh xạ
  • 1.1 Tập hợp
  • 1.2 Các phép toán tập hợp
  • 1.3 Ánh xạ
• 2 Ma trận và định thức
  • 2.1 Ma trận
    • 2.1.1 Các khái niệm cơ bản
    • 2.1.2 Các phép toán ma trận
  • 2.2 Phép biến đổi sơ cấp
  • 2.3 Định thức
    • 2.3.1 Định nghĩa và ví dụ
    • 2.3.2 Tính chất của định thức
    • 2.3.3 Cách tính định thức
  • 2.4 Một số ứng dụng của định thức
    • 2.4.1 Ma trận nghịch đảo
    • 2.4.2 Cách tính ma trận nghịch đảo
    • 2.4.3 Phương trình ma trận
  • 2.5 Bài tập
• 3 Hệ phương trình tuyến tính
  • 3.1 Khái niệm cơ bản
  • 3.2 Hệ Cramer
    • 3.2.1 Tồn tại duy nhất nghiệm
    • 3.2.2 Cách giải hệ Cramer
  • 3.3 Hạng của ma trận-Hệ phương trình tuyến tính tổng quát
    • 3.3.1 Ma trận bậc thang và hạng của ma trận
    • 3.3.2 Cách tính hạng của ma trận
    • 3.3.3 Hệ tuyến tính tổng quát: Tồn tại nghiệm
    • 3.3.4 Cách giải hệ tuyến tính tổng quát
  • 3.4 Hệ thuần nhất
  • 3.5 Bài tập
• 4 Không gian vectơ – Ánh xạ tuyến tính
  • 4.1 Khái niệm không gian véctơ
    • 4.1.1 Ví dụ mở đầu
    • 4.1.2 Khái niệm không gian véctơ
  • 4.2 Hệ độc lập tuyến tính, phụ thuộc tuyến tính
    • 4.2.1 Khái niệm và ví dụ
    • 4.2.2 Cách kiểm tra hệ độc lập hay phụ thuộc tuyến tính
  • 4.3 Không gian hữu hạn chiều và cơ sở
    • 4.3.1 Khái niệm không gian n-chiều
    • 4.3.2 Cơ sở
    • 4.3.4 Đổi cơ sở
  • 4.4 Không gian véctơ con
    • 4.4.1 Khái niệm không gian véctơ con
    • 4.4.2 Giao và tổng của các không gian véctơ con
    • 4.4.3 Không gian con sinh bởi một họ véctơ
    • 4.4.4 Không gian nghiệm của hệ phương trình tuyến tính thuần nhất
  • 4.5 Không gian véctơ Euclide
    • 4.5.1 Định nghĩa
      • Gram-Smidt 4.5.2 Hai vectơ trực giao, họ vectơ trực giao, thuật toán trực giao hoá
  • 4.6 Ánh xạ tuyến tính
    • 4.6.1 Định nghĩa và ví dụ
    • 4.6.2 Ma trận và biểu thức tọa độ của ánh xạ tuyến tính
    • 4.6.3 Ảnh, hạt nhân, hạng và số khuyết
  • 4.7 Bài tập Chương
• 5 Giá trị riêng và vectơ riêng-Dạng toàn phương
  • 5.1 Giá trị riêng và véctơ riêng của ma trận
    • 5.1.1 Tìm giá trị riêng của ma trận
    • 5.1.2 Tìm vectơ riêng của ma trận
  • 5.2 Giá trị riêng và véctơ riêng của tự đồng cấu tuyến tính (Đọc thêm)
    • 5.2.1 Khái niệm và tính chất
    • 5.2.2 Cách giải trong không gian n-chiều
  • 5.3 Chéo hóa ma trận
    • 5.3.1 Quy trình chéo hoá ma trận
    • 5.3.2 Ứng dụng (Đọc thêm)
  • 5.4 Dạng toàn phương
    • 5.4.1 Dạng song tuyến và dạng toàn phương

5.4.2 Dạng toàn phương trên R

n

....................... 54

5.4.3 Đưa dạng toàn phương về dạng chính tắc............... 54

5.4.4 Ứng dụng: Nhận dạng đường bậc hai, mặt bậc hai (đọc thêm)... 55

5.5 Bài tập Chương 4................................ 55

Chương 1

Tập hợp và ánh xạ

1.1 Tập hợp

1. Tập hợp được xem là khái niệm ban đầu của Toán học (không được định nghĩa chặt

chẽ). Người ta hiểu tập hợp là một sự tụ tập các đối tượng có tính chất chung nào

đó. Các đối tượng đó gọi là các phần tử của tập hợp đang xét.

Để biểu diễn phần tử x thuộc tập hợp X ta dùng ký hiệu x ∈ X. Ngược lại, nếu x

không thuộc X thì ta viết x /∈ X. Tập không có phần tử được gọi là tập rỗng, ký

hiệu ∅.

2. Mô tả tập hợp
   • Phương pháp 1. Liệt kê các phần tử của tập hợp đó. Ví dụ
     • tập các số tự nhiên N = { 0 , 1 , 2 , ...};
     • tập số nguyên Z = { 0 , 1 , 2 , ...};
     • tập số hữu tỷ Q = {r =

p q

| p, q ∈ Z, q 6 = 0}.

• Phương pháp 2. Chỉ ra tính chất đặc trưng của mọi phần tử thuộc nó. Ví dụ
  • tập các số tự nhiên chẵn 2 N = {a ∈ N| a chẵn} = { 2 k| k ∈ N};
  • tập các số tự nhiên có một chữ số là X = {n ∈ N| n ≤ 9 }.
• Phương pháp 3 (Biểu đồ Ven). Ngoài hai cách thường dùng để viết tập hợp

như phần trên, người ta còn minh họa tập hợp bằng một vòng kín, mỗi phần

tử của tập hợp được hiểu nằm bên trong vòng kín, còn phần tử không thuộc

tập hợp đó nằm bên ngoài vòng kín. Xem Hình 1.1.

3. Quan hệ giữa các tập hợp
   • Tập A là tập con của B nếu mọi phần tử của A đều thuộc B, ký hiệu A ⊆ B.
   • A và B là hai tập bằng nhau nếu A ⊆ B và B ⊆ A, ký hiệu A = B.

Hình 1.1: Biểu đồ Ven

• A là tập con thực sự của B nếu A ⊆ B và A 6 = B, ký hiệu A ⊂ B

1 .

1.2 Các phép toán tập hợp

• Hợp của hai tập A và B là tập tất cả các phần tử thuộc A hoặc thuộc B, ký hiệu

A ∪ B. Như vậy A ∪ B = {x| x ∈ A hoặc x ∈ B}.

• Giao của hai tập hợp A và B là tập hợp tạo bởi các phần vừa thuộc A và vừa thuộc

B, ký hiệu A ∩ B. Như vậy A ∩ B = {x| x ∈ A và x ∈ B}.

• Hiệu của A và B là tập tất cả các phần tử thuộc A mà không thuộc B, ký hiệu

A \ B. Như vậy A \ B = {x| x ∈ A và x /∈ B}.

• Tập bù. Khi B ⊆ A thì A \ B gọi là bù của B trong A, ký hiệu CAB.

1 Ký hiệu này không thống nhất. Một số tài liệu viết A ⊂ B để chỉ tập con và viết A ( B chỉ con thực

sự.

Đặc biệt, tập Imf := f (X) được gọi là ảnh của f. Nếu A = {x}, B = {y} ta viết f (x)

thay cho f ({x}) và f

− 1 (y) thay cho f

− 1 ({y}).

Ví dụ 3.2. Tương ứng f : R −→ R cho bởi quy tắc f (x) = |x| là một ánh xạ. Ảnh của

x = − 2 là f (−2) = 2. Nghịch ảnh của { 2 } là f

− 1 (2) = {− 2 , 2 }.

1. Đơn ánh-Toàn ánh-Song ánh

Ánh xạ f : X −→ Y được gọi là

• đơn ánh nếu f (x 1 ) = f (x 2 ) thì x 1 = x 2. Nói cách khác hai phần tử khác nhau

sẽ có ảnh khác nhau. Ví dụ f : N −→ R cho bởi f (n) = n

2

• 1 là đơn ánh.

• toàn ánh nếu với mọi y ∈ Y đều tồn tại x ∈ X sao cho f (x) = y. Nói cách

khác f (X) = Y. Ví dụ f : Z −→ N cho bởi f (z) = |z| là toàn ánh.

• song ánh nếu nó vừa đơn ánh và toàn ánh. Nói cách khác, với mỗi y ∈ Y luôn

tồn tại duy nhất x ∈ X sao cho f (x) = y. Ví dụ f : R −→ R cho bởi f (x) = x

3

là một song ánh.

2. Hợp của các ánh xạ

Cho hai ánh xạ f : X −→ Y và g : Y −→ Z. Khi đó ánh xạ h(x) = g(f (x)), ∀x ∈ X,

được gọi là ánh xạ hợp thành của f và g, và được ký hiệu là g ◦ f.

Ví dụ f và g là các ánh xạ từ R vào R cho bởi f (x) = cos x và g(y) = y

3 thì

h(x) = (g ◦ f )(x) = g(f (x)) = cos

3 x với mọi x ∈ R.

3. Ánh xạ ngược

Giả sử f : X −→ Y là song ánh thì với bất kỳ y ∈ Y đều tồn tại duy nhất

một phần tử x ∈ X sao cho f (x) = y. Ánh xạ f

− 1 : Y −→ X xác định bởi

f

− 1 (y) = x ⇔ y = f (x) gọi là ánh xạ ngược của f , ký hiệu f

− 1 .

Ví dụ f : [−

π 2

π 2

] −→ [− 1 , 1] cho bởi f (x) = sin x có ánh xạ ngược là f

− 1 (x) =

arcsin x.

Nếu f là song ánh thì f

− 1 ◦ f = idX là ánh xạ đồng nhất trên X và f ◦ f

− 1 = idY

là ánh xạ đồng nhất trên Y.

4. Thu hẹp và mở rộng của ánh xạ

Cho ánh xạ f : X −→ Y và A ⊂ X. Ánh xạ g : A −→ Y cho bởi g(x) = f (x), ∀x ∈ A

gọi là ánh xạ thu hẹp của f lên A, ký hiệu g = f |A.

Nếu X ⊂ X

′ thì ánh xạ h : X

′ −→ Y sao cho h(x) = f (x), ∀x ∈ X gọi là mở rộng

của f lên tập X

′ .

Chương 2

Ma trận và định thức

2.1 Ma trận

2.1.1 Các khái niệm cơ bản

1. Ma trận cỡ m × n là một bảng số (thực hoặc phức) hình chữ nhật có m hàng và n

cột. Ta có thể viết ma trận A cấp m × n như sau

A =

a 11 a 12 · · · a 1 n

a 21 a 22 · · · a 2 n

. . .

am 1 am 2 · · · amn

hay A =

a 11 a 12 · · · a 1 n

a 21 a 22 · · · a 2 n

. . .

am 1 am 2 · · · amn

Để gọn, ta cũng dùng ký hiệu A = [aij ]m×n hay A = (aij )m×n.

Tập tất cả ma trận cỡ m × n trên trường số K (K = R hoặc C) được ký hiệu

Mm×n(K) hay Matm×n(K).

2. A và B là hai ma trận bằng nhau nếu chúng có cùng cỡ m × n và aij = bij với mọi

i = 1, ..., m, j = 1, ..., n.

3. Ma trận A cỡ m × n được gọi là ma trận vuông nếu m = n. Ta nói A có cấp n.
4. Ma trận không

Om,n =

• A + C =

[

]

• AB =

[

]

• 3 A =

[

]

• A

T

Mệnh đề 1.5 (Tính chất cơ bản). Cho α, β ∈ K và giả sử các phép toán bên dưới là thực

hiện được, tức là các ma trận A, B, C có các cấp phù hợp. Khi đó

1. A + B = B + A

2. (α + β)A = αA + βA
3. α(A + B) = αA + αB

4. (AB)C = A(BC)

5. α(AB) = (αA)B = A(αB)
6. AIn = A và ImA = A nếu A có cỡ m × n

7. (A + B)C = AC + BC

8. (A + B)

T = A

T

• B

T

9. (αA)

T = αA

T

10. (AB)

T = B

T A

T .

2.2 Phép biến đổi sơ cấp

Để dễ hình dung, chúng tôi sẽ minh hoạ các tính toán cho ma trận cỡ 3 × 4

A =

a b c d

e f g h

i j k l

• Nhân một hàng với số α 6 = 0 (hi → αhi). Điều này tương đương với việc nhân bên

trái A với Ni có được từ ma trận đơn vị có cấp là số hàng của A và thay số 1 tại vị

trí (i, i) bởi α.

Ví dụ N 1 =

α 0 0

 , N

0 α 0

0 0 1

 , N

0 0 α

 (^). Ta có

N 1 A =

α 0 0

a b c d

e f g h

i j k l

αa αb αc αd

e f g h

i j k l

N 2 A =

0 α 0

0 0 1

a b c d

e f g h

i j k l

a b c d

αe αf αg αh

i j k l

N 3 A =

0 0 α

a b c d

e f g h

i j k l

a b c d

e f g h

αi αj αk αl

• Đổi vị trí hai hàng (hi ↔ hj ). Tương đương với việc nhân bên trái A với ma trận

Hij có được bằng cách đổi hàng i và j của ma trận đơn vị có cấp là số hàng của A.

Ví dụ H 12 =

 , H

 , H

 (^). Ta có

H 12 A =

a b c d

e f g h

i j k l

e f g h

a b c d

i j k l

H 13 A =

a b c d

e f g h

i j k l

i j k l

e f g h

a b c d

H 23 A =

a b c d

e f g h

i j k l

a b c d

i j k l

e f g h

• Cộng 1 hàng với α lần hàng khác (hj → hj + αhi). Cộng α lần hàng i vào hàng j

bằng cách nhân bên trái A bởi Cij có được từ ma trận đơn vị thay 0 bởi α tại vị trí

(j, i).

Ví dụ C 12 =

α 1 0

 , C

α 0 1

 , C

1 α 0

0 1 0

 (^). Ta có

Định thức cấp 2

det

([

a 11 a 12

a 21 a 22

])

= a 11 a 22 − a 21 a 12 = a 11 M 11 − a 12 M 12 = a 11 A 11 + a 12 A 12.

Định thức cấp n ≥ 2

det(A) := a 11 M 11 − a 12 M 12 + ... + (−1)

1+n a 1 nM 1 n

= a 11 A 11 + a 12 A 12 + ... + a 1 nA 1 n.

Chú ý 3.6. Ta có thể khai triển theo các dòng i và cột j bất kỳ.

• Khai triển theo dòng i

det(A) =

n ∑

j=

aij Aij =

n ∑

j=

i+j aij Mij.

• Khai triển theo cột j

det(A) =

∑^ n

i=

aij Aij =

∑^ n

i=

i+j aij Mij.

Ví dụ 3.7. Cho A =

a 11 a 12 a 13

a 21 a 22 a 23

a 31 a 32 a 33

 (^) ma trận vuông cấp 3. Khai triển theo dòng 1 hoặc

dòng 2 hoặc dòng 3 thì định thức của A được xác định bởi

det(A) = (−1)

1+ a 11

a 22 a 23

a 32 a 33

1+ a 12

a 21 a 23

a 31 a 33

1+ a 13

a 21 a 22

a 31 a 32

2+ a 21

a 12 a 13

a 32 a 33

2+ a 22

a 11 a 13

a 31 a 33

2+ a 23

a 11 a 12

a 31 a 32

3+ a 31

a 12 a 13

a 22 a 23

3+ a 32

a 11 a 13

a 21 a 23

3+ a 33

a 11 a 12

a 21 a 22

= a 11 a 22 a 33 + a 12 a 23 a 31 + a 13 a 21 a 32 − a 13 a 22 a 31 − a 11 a 23 a 32 − a 12 a 21 a 33.

Ví dụ 3.8. Tính các định thức sau

• det

([

])

1+

1+

2.3.2 Tính chất của định thức

1. Nếu một dòng của định thức có nhân tử chung α thì ta có thể đưa nó ra ngoài

∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ a 11 a 12 · · · a 1 n

. . .

αai 1 αai 2 · · · αain

. . .

an 1 an 2 · · · ann

= α

a 11 a 12 · · · a 1 n

. . .

ai 1 ai 2 · · · ain

. . .

an 1 an 2 · · · ann

2. Nếu một dòng của định thức có các phần tử được biểu diễn thành tổng của hai

hạng tử thì định thức đó bằng tổng của hai định thức

∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ a 11 a 12 · · · a 1 n

. . .

a

′ i 1 +^ a

′′ i 1 a

′ i 2 +^ a

′′ i 2 · · ·^ a

′ in +^ a

′′ in . . .

an 1 an 2 · · · ann

a 11 a 12 · · · a 1 n

. . .

a

′ i 1 a

′ i 2 · · ·^ a

′ in . . .

an 1 an 2 · · · ann

a 11 a 12 · · · a 1 n

. . .

a

′′ i 1 a

′′ i 2 · · ·^ a

′′ in . . .

an 1 an 2 · · · ann

3. Nếu đổi chỗ hai dòng của một ma trận thì định thức của nó đổi dấu.
4. Định thức có hai dòng tỷ lệ với nhau thì bằng 0. Đặc biệt, định thức có hai dòng

bằng nhau thì bằng 0.

5. Định thức có một dòng bằng 0 thì nó bằng 0.
6. Nếu cộng vào một dòng của định thức với một “bội” của dòng khác thì định thức

không đổi

∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ a 11 a 12 · · · a 1 n

. . .

ai 1 + αak 1 ai 2 + αak 2 · · · ain + αakn

. . .

an 1 an 2 · · · ann

a 11 a 12 · · · a 1 n

. . .

ai 1 ai 2 · · · ain

. . .

an 1 an 2 · · · ann

7. Nếu có một hàng là tổ hợp tuyến tính của các hàng khác thì định thức bằng 0.
8. Định thức của các ma trận tam giác là tích các phần tử trên đường chéo

∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣

a 11 a 12 · · · a 1 n

0 a 22 a 2 n

. . .

0 0 · · · ann

a 11 0 · · · 0

a 21 a 22 0

. . .

an 1 an 2 · · · ann

= a 11 a 22 ...ann.

Cách 2. Dùng các phép biển đổi sơ cấp, ta được

(đổi chổ hai dòng)

(đưa thừa số 3 ra ngoài)

(cộng -2 lần hàng 1 với hàng 3)

(cộng -10 lần hàng 2 với hàng 3)

2.4 Một số ứng dụng của định thức

2.4.1 Ma trận nghịch đảo

Ma trận vuông A cấp n được gọi là khả nghịch, hay có nghịch đảo, hay không suy biến,

nếu tồn tại một ma trận B vuông cùng cấp n sao cho

AB = BA = In,

ma trận B được gọi là ma trận nghịch đảo của A, ký hiệu B = A

− 1 .

Mệnh đề 4.11. Cho A, B là hai ma trận vuông cùng cấp khả nghịch. Khi đó

• A

− 1 cũng khả nghịch và (A

− 1 )

− 1 = A.

• AB cũng khả nghịch và (AB)

− 1 = B

− 1 A

− 1 .

Mệnh đề 4.12. Ma trận vuông A khả nghịch khi và chỉ khi det(A) 6 = 0. Trong trường

hợp này

A

− 1

det(A)

A 11 A 21 · · · An 1

A 12 A 22 · · · An 2

. . .

A 1 n A 2 n · · · Ann

với Aij là phần bù đại số của aij.

2.4.2 Cách tính ma trận nghịch đảo

• Cách 1. Dùng Mệnh đề 4.12.
• Cách 2. Dùng phương pháp Gauss-Jordan (dựa vào các phép biến đổi sơ cấp). Như

đã biết, các phép biến đổi sơ cấp là tương đương với việc nhân bên trái của A với

các ma trận sơ cấp (xem Mục 2.2).

• Nhân hàng r với α 6 = 0 thì tương đương nhân bên trái của A với ma trận, ta

kí hiệu F (r, α).

• Đổi chỗ hàng r và s thì tương đương với nhân bên trái A với ma trận, ký hiệu

P (r, s).

• Cộng k lần hàng r vào hàng s thì tương đương nhân bên trái A với ma trận,

ký hiệu Q(r, k, s).

Các ma trận F, P, Q là các ma trận sơ cấp khả nghịch với

F (r, α)

− 1 = F (r,

α

P (r, s)

− 1 = P (r, s)

Q(r, k, s)

− 1 = Q(r, −k, s).

Ví dụ 4.13. Tìm ma trận nghịch đảo của các ma trận sau

A =

 , B =

Cách 1. Ta tính các phần bù đại số

A 11 = 40 A 12 = − 13 A 13 = − 5

A 21 = − 16 A 22 = 5 A 23 = 2

A 31 = − 9 A 32 = 3 A 33 = 1

và

det(A) = 1.(−9) + 8.1 = − 1 6 = 0.

Do đó

A

− 1

det(A)