Physics formulary: nuclear, quantum, solid, state, plasma physic and much more, Study notes of Applied Chemistry

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Physics Formulary

By ir. J.C.A. Wevers

c 1995, 1997 J.C.A. Wevers Version: Septemb er 3, 1997

Dear reader,

This do cument contains a 107 page LaTEX le which contains a lot equations in physics. It is written at advanced undergraduate/p ostgraduate level. It is intended to b e a short reference for anyone who works with physics and often needs to lo ok up equations.

This, and a Dutch version of this le, can b e obtained from the author, Johan Wevers (johanw@vulcan.xs4all.nl).

It can also b e obtained on the WWW. See http://www.xs4all.nl/~johanw/index.html, where also a Postscript version is available.

If you nd any errors or have any comments, please let me know. I am always op en for suggestions and p ossible corrections to the physics formulary.

This do cument is Copyright 1995, 1997 by J.C.A. Wevers. All rights are reserved. Permission to use, copy and distribute this unmo di ed do cument by any means and for any purp ose except pro t purposes is hereby granted. Repro ducing this do cument by any means, included, but not limited to, printing, copying existing prints, publishing by electronic or other means, implies full agreement to the ab ove non-pro t-use clause, unless up on explicit prior written p ermission of the author.

This do cument is provided by the author \as is", with all its faults. Any express or implied warranties, including, but not limited to, any implied warranties of merchantability, accuracy, or tness for any particular purp ose, are disclaimed. If you use the information in this do cument, in any way, you do so at your own risk.

The Physics Formulary is made with emTEX (TEX386), version 3.141 [3c-b eta-12] and LaTEX version 2.09. It can b e p ossible that your LaTEX version has problems compiling the le. The most probable source of problems would b e the use of large b ezier curves and/or emTEX sp ecials in pictures.

Johan Wevers

• Physical Constants Contents I
• 1 Mechanics
  • 1.1 Point-kinetics in a xed co ordinate system : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
    • 1.1.1 De nitions : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
    • 1.1.2 Polar co ordinates : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
  • 1.2 Relative motion : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
  • 1.3 Point-dynamics in a xed co ordinate system : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
    • 1.3.1 Force, (angular)momentum and energy : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
    • 1.3.2 Conservative force elds : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
    • 1.3.3 Gravitation : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
    • 1.3.4 Orbital equations : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
    • 1.3.5 The virial theorem : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
  • 1.4 Point dynamics in a moving co ordinate system : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
    • 1.4.1 Apparent forces : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
    • 1.4.2 Tensor notation : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
  • 1.5 Dynamics of massp oint collections : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
    • 1.5.1 The centre of mass : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
    • 1.5.2 Collisions : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
  • 1.6 Dynamics of rigid b o dies : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
    • 1.6.1 Moment of Inertia : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
    • 1.6.2 Principal axes : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
    • 1.6.3 Time dep endence : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
  • 1.7 Variational Calculus, Hamilton and Lagrange mechanics : : : : : : : : : : : : : : : : :
    • 1.7.1 Variational Calculus : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
    • 1.7.2 Hamilton mechanics : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
    • 1.7.3 Motion around an equilibrium, linearization : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
    • 1.7.4 Phase space, Liouville's equation : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
    • 1.7.5 Generating functions : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
• 2 Electricity & Magnetism
  • 2.1 The Maxwell equations : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
  • 2.2 Force and p otential : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
  • 2.3 Gauge transformations : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
  • 2.4 Energy of the electromagnetic eld : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
  • 2.5 Electromagnetic waves : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
    • 2.5.1 Electromagnetic waves in vacuum : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
    • 2.5.2 Electromagnetic waves in matter : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
  • 2.6 Multip oles : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
  • 2.7 Electric currents : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
  • 2.8 Dep olarizing eld : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
  • 2.9 Mixtures of materials : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
• 3 Relativity I I Physics Formulary by ir. J.C.A. Wevers
  • 3.1 Sp ecial relativity : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
    • 3.1.1 The Lorentz transformation : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
    • 3.1.2 Red and blue shift : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
    • 3.1.3 The stress-energy tensor and the eld tensor : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
  • 3.2 General relativity : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
    • 3.2.1 Riemannian geometry, the Einstein tensor : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
    • 3.2.2 The line element : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
    • 3.2.3 Planetary orbits and the p erihelium shift : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
    • 3.2.4 The tra jectory of a photon : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
    • 3.2.5 Gravitational waves : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
    • 3.2.6 Cosmology : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
• 4 Oscillations
  • 4.1 Harmonic oscillations : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
  • 4.2 Mechanic oscillations : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
  • 4.3 Electric oscillations : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
  • 4.4 Waves in long conductors : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
  • 4.5 Coupled conductors and transformers : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
  • 4.6 Pendulums : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
• 5 Waves
  • 5.1 The wave equation : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
  • 5.2 Solutions of the wave equation : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
    • 5.2.1 Plane waves : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
    • 5.2.2 Spherical waves : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
    • 5.2.3 Cylindrical waves : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
    • 5.2.4 The general solution in one dimension : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
  • 5.3 The stationary phase metho d : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
  • 5.4 Green functions for the initial-value problem : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
  • 5.5 Waveguides and resonating cavities : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
  • 5.6 Non-linear wave equations : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
• 6 Optics
  • 6.1 The b ending of light : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
  • 6.2 Paraxial geometrical optics : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
    • 6.2.1 Lenses : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
    • 6.2.2 Mirrors : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
    • 6.2.3 Principal planes : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
    • 6.2.4 Magni cation : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
  • 6.3 Matrix metho ds : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
  • 6.4 Ab errations : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
  • 6.5 Re ection and transmission : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
  • 6.6 Polarization : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
  • 6.7 Prisms and disp ersion : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
  • 6.8 Di raction : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
  • 6.9 Sp ecial optical e ects : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
  • 6.10 The Fabry-Perot interferometer : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
• 7 Statistical physics
  • 7.1 Degrees of freedom : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
  • 7.2 The energy distribution function : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
  • 7.3 Pressure on a wall : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
  • 7.4 The equation of state : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
  • 7.5 Collisions b etween molecules : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
  • 7.6 Interaction b etween molecules : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : Physics Formulary by ir. J.C.A. Wevers I I I
• 8 Thermo dynamics
  • 8.1 Mathematical intro duction : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
  • 8.2 De nitions : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
  • 8.3 Thermal heat capacity : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
  • 8.4 The laws of thermo dynamics : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
  • 8.5 State functions and Maxwell relations : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
  • 8.6 Pro cesses : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
  • 8.7 Maximal work : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
  • 8.8 Phase transitions : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
  • 8.9 Thermo dynamic p otential : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
  • 8.10 Ideal mixtures : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
  • 8.11 Conditions for equilibrium : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
  • 8.12 Statistical basis for thermo dynamics : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
  • 8.13 Application to other systems : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
• 9 Transp ort phenomena
  • 9.1 Mathematical intro duction : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
  • 9.2 Conservation laws : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
  • 9.3 Bernoulli's equations : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
  • 9.4 Characterising of ows by dimensionless numb ers : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
  • 9.5 Tub e ows : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
  • 9.6 Potential theory : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
  • 9.7 Boundary layers : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
    • 9.7.1 Flow b oundary layers : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
    • 9.7.2 Temp erature b oundary layers : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
  • 9.8 Heat conductance : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
  • 9.9 Turbulence : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
  • 9.10 Self organization : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
• 10 Quantum physics
  • 10.1 Intro duction to quantum physics : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
    • 10.1.1 Black b o dy radiation : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
    • 10.1.2 The Compton e ect : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
    • 10.1.3 Electron di raction : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
  • 10.2 Wave functions : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
  • 10.3 Op erators in quantum physics : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
  • 10.4 The uncertainty principle : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
  • 10.5 The Schrodinger equation : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
  • 10.6 Parity : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
  • 10.7 The tunnel e ect : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
  • 10.8 The harmonic oscillator : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
  • 10.9 Angular momentum : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
  • 10.10 Spin : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
  • 10.11 The Dirac formalism : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
  • 10.12 Atomic physics : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
    • 10.12.1 Solutions : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
    • 10.12.2 Eigenvalue equations : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
    • 10.12.3 Spin-orbit interaction : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
    • 10.12.4 Selection rules : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
  • 10.13 Interaction with electromagnetic elds : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
  • 10.14 Perturbation theory : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
    • 10.14.1 Time-indep endent p erturbation theory : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
    • 10.14.2 Time-dep endent p erturbation theory : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
  • 10.15 N-particle systems : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : IV Physics Formulary by ir. J.C.A. Wevers
    • 10.15.1 General : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
    • 10.15.2 Molecules : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
  • 10.16 Quantum statistics : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
• 11 Plasma physics
  • 11.1 Intro duction : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
  • 11.2 Transp ort : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
  • 11.3 Elastic collisions : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
    • 11.3.1 General : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
    • 11.3.2 The Coulomb interaction : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
    • 11.3.3 The induced dip ole interaction : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
    • 11.3.4 The centre of mass system : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
    • 11.3.5 Scattering of light : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
  • 11.4 Thermo dynamic equilibrium and reversibility : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
  • 11.5 Inelastic collisions : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
    • 11.5.1 Typ es of collisions : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
    • 11.5.2 Cross sections : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
  • 11.6 Radiation : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
  • 11.7 The Boltzmann transp ort equation : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
  • 11.8 Collision-radiative mo dels : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
  • 11.9 Waves in plasma's : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
• 12 Solid state physics
  • 12.1 Crystal structure : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
  • 12.2 Crystal binding : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
  • 12.3 Crystal vibrations : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
    • 12.3.1 A lattice with one typ e of atoms : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
    • 12.3.2 A lattice with two typ es of atoms : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
    • 12.3.3 Phonons : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
    • 12.3.4 Thermal heat capacity : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
  • 12.4 Magnetic eld in the solid state : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
    • 12.4.1 Dielectrics : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
    • 12.4.2 Paramagnetism : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
    • 12.4.3 Ferromagnetism : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
  • 12.5 Free electron Fermi gas : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
    • 12.5.1 Thermal heat capacity : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
    • 12.5.2 Electric conductance : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
    • 12.5.3 The Hall-e ect : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
    • 12.5.4 Thermal heat conductivity : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
  • 12.6 Energy bands : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
  • 12.7 Semiconductors : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
  • 12.8 Sup erconductivity : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
    • 12.8.1 Description : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
    • 12.8.2 The Josephson e ect : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
    • 12.8.3 Flux quantisation in a sup erconducting ring : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
    • 12.8.4 Macroscopic quantum interference : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
    • 12.8.5 The London equation : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
    • 12.8.6 The BCS mo del : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
• 13 Theory of groups Physics Formulary by ir. J.C.A. Wevers V
  • 13.1 Intro duction : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
    • 13.1.1 De nition of a group : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
    • 13.1.2 The Cayley table : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
    • 13.1.3 Conjugated elements, subgroups and classes : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
    • 13.1.4 Isomor sm and homomor sm; representations : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
    • 13.1.5 Reducible and irreducible representations : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
  • 13.2 The fundamental orthogonality theorem : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
    • 13.2.1 Schur's lemma : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
    • 13.2.2 The fundamental orthogonality theorem : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
    • 13.2.3 Character : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
  • 13.3 The relation with quantum mechanics : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
    • 13.3.1 Representations, energy levels and degeneracy : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
    • 13.3.2 Breaking of degeneracy by a p erturbation : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
    • 13.3.3 The construction of a base function : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
    • 13.3.4 The direct pro duct of representations : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
    • 13.3.5 Clebsch-Gordan co ecients : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
    • 13.3.6 Symmetric transformations of op erators, irreducible tensor op erators : : : : : :
    • 13.3.7 The Wigner-Eckart theorem : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
  • 13.4 Continuous groups : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
    • 13.4.1 The 3-dimensional translation group : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
    • 13.4.2 The 3-dimensional rotation group : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
    • 13.4.3 Prop erties of continuous groups : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
  • 13.5 The group SO(3) : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
  • 13.6 Applications to quantum mechanics : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
    • 13.6.1 Vectormo del for the addition of angular momentum : : : : : : : : : : : : : : :
    • 13.6.2 Irreducible tensor op erators, matrixelements and selection rules : : : : : : : : :
  • 13.7 Applications to particle physics : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
• 14 Nuclear physics
  • 14.1 Nuclear forces : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
  • 14.2 The shap e of the nucleus : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
  • 14.3 Radioactive decay : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
  • 14.4 Scattering and nuclear reactions : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
    • 14.4.1 Kinetic mo del : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
    • 14.4.2 Quantum mechanical mo del for n-p scattering : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
    • 14.4.3 Conservation of energy and momentum in nuclear reactions : : : : : : : : : : :
  • 14.5 Radiation dosimetry : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
• 15 Quantum eld theory & Particle physics
  • 15.1 Creation and annihilation op erators : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
  • 15.2 Classical and quantum elds : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
  • 15.3 The interaction picture : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
  • 15.4 Real scalar eld in the interaction picture : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
  • 15.5 Charged spin-0 particles, conservation of charge : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
  • 15.6 Field functions for spin- 12 particles : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
  • 15.7 Quantization of spin- 12 elds : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
  • 15.8 Quantization of the electromagnetic eld : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
  • 15.9 Interacting elds and the S-matrix : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
  • 15.10 Divergences and renormalization : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
  • 15.11 Classi cation of elementary particles : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
  • 15.12 P and CP-violation : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
  • 15.13 The standard mo del : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
    • 15.13.1 The electroweak theory : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
    • 15.13.2 Sp ontaneous symmetry breaking: the Higgs mechanism : : : : : : : : : : : :
    • 15.13.3 Quantumchromo dynamics : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : VI Physics Formulary by ir. J.C.A. Wevers
  • 15.14 Path integrals : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
  • 15.15 Uni cation and quantum gravity : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
• 16 Astrophysics
  • 16.1 Determination of distances : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
  • 16.2 Brightness and magnitudes : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
  • 16.3 Radiation and stellar atmospheres : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
  • 16.4 Comp osition and evolution of stars : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
  • 16.5 Energy pro duction in stars : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
• The r-op erator

Chapter 1

Mechanics

1.1 Point-kinetics in a xed co ordinate system

1.1.1 De nitions

The p osition ~r , the velo city ~v and the acceleration ~a are de ned by: ~r = (x; y ; z ), ~v = ( x_; y_ ; z_ ), ~a = ( x; y ; z ). The following holds:

s(t) = s 0 +

Z

j~v (t)jdt ; ~r (t) = ~r 0 +

Z

~v (t)dt ; ~v (t) = ~v 0 +

Z

~a(t)dt

When the acceleration is constant this gives: v (t) = v 0 + at and s(t) = s 0 + v 0 t + 12 at^2.

For the unit vectors in a direction? to the orbit ~et and parallel to it ~en holds:

~et =

~v

j~v j

d~r ds

~e_t = v 

~en ; ~en =

~e_t

j ~e_t j

For the curvature k and the radius of curvature  holds:

~k = d~et ds

d^2 ~r ds^2

d' ds

jk j

1.1.2 Polar co ordinates

Polar co ordinates are de ned by: x = r cos( ), y = r sin( ). So, for the unit co ordinate vectors holds:

~e_r = ~e , ~e = ~_er

The velo city and the acceleration are derived from: ~r = r~er , ~v = r~er + r ~e , ~a = ( r r  2 )~er + (2 r _ +

r  )~e.

1.2 Relative motion

For the motion of a p oint D w.r.t. a p oint Q holds: ~rD = ~rQ +

~!  ~vQ

with QD~ = ~rD ~rQ and! = _.

Further holds: = . 0 means that the quantity is de ned in a moving system of co ordinates. In a moving system holds:

~v = ~vQ + ~v 0 + ~!  ~r 0 and ~a = ~aQ + ~a 0 + ~  ~r 0 + 2 ~!  ~v ~!  (~!  ~r 0 )

with j~!  (~!  ~r 0 )j =! 2 ~rn 0

1.3 Point-dynamics in a xed co ordinate system

1.3.1 Force, (angular)momentum and energy

Newton's 2nd law connects the force on an ob ject and the resulting acceleration of the ob ject where the momentum is given by ~p = m~v :

F^ ~ (~r ; ~v ; t) = d~p dt

d(m~v ) dt

= m

d~v dt

• ~v

dm dt

m=const = m~a

Chapter 1: Mechanics 3

Newton's 3rd law is given by: F~action = F~reaction.

For the p ower P holds: P = W_ = F~
~v. For the total energy W , the kinetic energy T and the

p otential energy U holds: W = T + U ; T_ = U_ with T = 12 mv 2.

The kick ~S is given by: S~ =
~p =

Z

F~ dt

The work A, delivered by a force, is A =

Z 2

1

F^ ~
d~s =

Z 2

1

F cos ( )ds

The torque ~ is related to the angular momentum L~ : ~ = L~_ = ~r  F~ ; and

~L = ~r  ~p = m~v  ~r , j L~j = mr 2!. The following equation is valid:

@ U

Hence, the conditions for a mechanical equilibrium are:

P ~

Fi = 0 and

P

~i = 0.

The force of friction is usually prop ortional to the force p erp endicular to the surface, except when

the motion starts, when a threshold has to b e overcome: Ffric = f
Fnorm
~et.

1.3.2 Conservative force elds

A conservative force can b e written as the gradient of a p otential: F~cons = r~U. From this follows

that r  F~ = ~ 0. For such a force eld also holds:

I

F~
d~s = 0 ) U = U 0

Zr^1

r 0

F^ ~
d~s

So the work delivered by a conservative force eld dep ends not on the tra jectory covered but only on the starting and ending p oints of the motion.

1.3.3 Gravitation

The Newtonian law of gravitation is (in GRT one also uses  instead of G):

F^ ~g = G m^1 m^2

r 2

~er

The gravitational p otential is then given by V = Gm=r. From Gauss law it then follows: r^2 V =

4  G%.

1.3.4 Orbital equations

If V = V (r ) one can derive from the equations of Lagrange for  the conservation of angular momen- tum:

@ L

@ V

d dt

(mr 2 ) = 0 ) Lz = mr 2  = constant

For the radial p osition as a function of time can b e found that:

dr dt

2(W V )

m

L^2

m^2 r 2

The angular equation is then:

Z^ r

0

mr 2 L

r

2(W V )

m

L^2

m^2 r 2

dr r^

(^2) eld = arccos 1 +

1

r ^

1 r 0 1 r 0 +^ k^ m=L (^2) z

If F = F (r ): L =constant, if F is conservative: W =constant, if F~? ~v then
T = 0 and U = 0.

Chapter 1: Mechanics 5

1. Transformation of the origin: For = m~aa

2. Rotation: F~ = m ~  ~r 0

3. Coriolis force: Fcor = 2 m~!  ~v

4. Centrifugal force: F~cf = m! 2 ~rn 0 = F~cp ; F~cp =

mv 2 r

~er

1.4.2 Tensor notation

Transformation of the Newtonian equations of motion to x = x (x) gives:

dx dt

@ x @ x

d x dt

The chain rule gives:

d dt

dx dt

d^2 x dt^2

d dt

@ x @ x

d x dt

@ x @ x

d^2 x dt^2

d x dt

d dt

@ x @ x

so: d dt

@ x @ x

@ x

@ x @ x

d x dt

@ 2 x @ x @ x

d x dt

This leads to: d^2 x dt^2

@ x @ x

d^2 x dt^2

@ 2 x @ x @ x

d x dt

d x dt

Hence the Newtonian equation of motion

m

d^2 x dt^2

= F

will b e transformed into:

m

d^2 x dt^2

dx dt

dx dt

= F

The apparent forces are taken from he origin to the e ect side in the way

dx dt

dx dt

1.5 Dynamics of massp oint collections

1.5.1 The centre of mass

The velo city w.r.t. the centre of mass R~ is given by ~v R~_. The co ordinates of the centre of mass are

given by:

~rm =

P

mi ~ri

P

mi

In a 2-particle system, the co ordinates of the centre of mass are given by:

R^ ~ = m^1 ~r^1 +^ m^2 ~r^2 m 1 + m 2

With ~r = ~r 1 ~r 2 , the kinetic energy b ecomes: T = 12 Mtot R_^2 + 12  r_ 2 , with the reduced mass  given

by:

m 1

m 2 The motion within and outside the centre of mass can b e separated:

~_ Loutside = ~outside ;

~_

L (^) inside = ~inside

~p = m~vm ; F~ext = m~am ; F~ 12 = ~u

6 Physics Formulary by ir. J.C.A. Wevers

1.5.2 Collisions

With collisions, where B are the co ordinates of the collision and C an arbitrary other p osition, holds: ~p = m~vm is constant, and T = 12 m~v (^) m^2 is constant. The changes in the relative velocities can b e

derived from: S~ =
~p = (~vaft ~vb efore ). Further holds
L~C = CB~  S~ , ~p k S~ =constant and L~

w.r.t. B is constant.

1.6 Dynamics of rigid b o dies

1.6.1 Moment of Inertia

The angular momentum in a moving co ordinate system is given by:

~L^0 = I ~! + ~L^0 n

where I is the moment of inertia with resp ect to a central axis, which is given by:

I =

X

i

mi ~ri 2 ; T 0 = Wrot = 12! Iij ~ei~ej = 12 I! 2

or, in the continuous case:

I = m V

Z

r (^0) n dV =

Z

r (^0) n dm

Further holds:

Li = I ij^ !j ; Iii = Ii ; Iij = Ij i =

X

k

mk x^0 i x^0 j

Steiner's theorem is: Iw:r:t:D = Iw:r:t:C + m(D M )^2 if axis C k axis D.

Ob ject I Ob ject I

Cavern cylinder I = mR^2 Massive cylinder I = 12 mR^2

Disc, axis in plane disc through m I = 14 mR^2 Halter I = 12 R^2 Cavern sphere I = 23 mR^2 Massive sphere I = 25 mR^2

Bar, axis? through c.o.m. I = 121 ml 2 Bar, axis? through end I = 13 ml 2

Rectangle, axis? plane thr. c.o.m. I = 121 (a^2 + b^2 ) Rectangle, axis k b thr. m I = ma^2

1.6.2 Principal axes

Each rigid b o dy has (at least) 3 principal axes which stand? to each other. For a principal axis

holds: @ I @ !x

@ I

@ !y

@ I

@ !z

= 0 so L^0 n = 0

The following holds: !_k = aij k !i !j with aij k =

Ii Ij

Ik

if I 1  I 2  I 3.

1.6.3 Time dep endence

For torque of force ~ holds:

~ 0 = I  ;

d^00 L~^0 dt

= ~ 0 ~!  ~L^0

The torque T~ is de ned by: T~ = F~  d~.

8 Physics Formulary by ir. J.C.A. Wevers

1.7.4 Phase space, Liouville's equation

In phase space holds:

r =

X

i

@ qi

X

i

@ pi

so r
~v =

X

i

@ qi

@ H

@ pi

@ pi

@ H

@ qi

If the equation of continuity, @t % + r
(%~v ) = 0 holds, this can b e written as:

f%; H g +

@ t

For an arbitrary quantity A holds: dA dt

= fA; H g +

@ A

@ t

Liouville's theorem can than b e written as:

d% dt

= 0 ; or:

Z

pdq = constant

1.7.5 Generating functions

Starting with the co ordinate transformation:

Qi = Qi (qi ; pi ; t) Pi = Pi (qi ; pi ; t)

one can derive the following Hamilton equations with the new Hamiltonian K :

dQi dt

@ K

@ Pi

dPi dt

@ K

@ Qi

Now, a distinction b etween 4 cases can b e made:

1. If pi q_i H = Pi Qi K (Pi ; Qi ; t)

dF 1 (qi ; Qi ; t) dt

, the co ordinates follow from:

pi =

@ F 1

@ qi

; Pi =

@ F 1

@ Qi

; K = H +

dF 1 dt

2. If pi q_i H = P_i Qi K (Pi ; Qi ; t) +

dF 2 (qi ; Pi; t) dt

, the co ordinates follow from:

pi =

@ F 2

@ qi ; Qi =

@ F 2

@ Pi

; K = H +

@ F 2

@ t

3. If p_i qi H = Pi Q_i K (Pi ; Qi ; t) +

dF 3 (pi ; Qi ; t) dt , the co ordinates follow from:

qi =

@ F 3

@ pi

; Pi =

@ F 3

@ Qi

; K = H +

@ F 3

@ t

4. If p_i qi H = Pi Qi K (Pi ; Qi ; t) +

dF 4 (pi ; Pi ; t) dt

, the co ordinates follow from:

qi =

@ F 4

@ pi

; Qi =

@ F 4

@ pi

; K = H +

@ F 4

@ t

The functions F 1 , F 2 , F 3 and F 4 are called generating functions.

Chapter 2

Electrici ty & Magnetism

2.1 The Maxwell equations

The classical electromagnetic eld can b e describ ed by the Maxwel l equations. Those can b e written b oth as di erential and integral equations:

ZZ

( D~
~n)d^2 A = Qfree;included r
D~ = free

ZZ

( B~
~n)d^2 A = 0 r
B~ = 0

I

E~
d~s = d

dt

r  E~ =

@ B~

I @^ t

H~
d~s = Ifree;included + d

dt

r  H~ = J~free +

@ D~

@ t

For the uxes holds: =

ZZ

( D~
~n)d^2 A,  =

ZZ

( B~
~n)d^2 A.

The electric displacement D~ , p olarization P~ and electric eld strength E~ dep end on each other according to:

D^ ~ = " 0 E~ + P~ = " 0 "r E~ , P~ = P^ ~p 0 =Vol, "r = 1 + e , with e = np

2 0 3 " 0 k T

The magnetic eld strength H~ , the magnetization M~ and the magnetic ux density B~ dep end on each other according to:

B^ ~ =  0 ( H~ + M~ ) =  0 r H~ , M~ = P^ m=~ Vol, r = 1 + m , with m = ^0 nm

2 0 3 k T

2.2 Force and p otential

The force and the electric eld b etween 2 p oint charges are given by:

F^ ~ 12 = Q^1 Q^2

4  " 0 "r r 2

~er ; E~ =

F~

Q

The Lorentzforce is the force which is felt by a charged particle that moves through a magnetic eld.

The origin of this force is a relativistic transformation of the Coulomb force: F~L = Q(~v  B~ ) = l ( ~I  B~ ).

The magnetic eld in p oint P which results from an electric current is given by the law of Biot-Savart,

also known als the law of Laplace. In here, d~l k I~ and ~r p oints from d~l to P :

d B~P =

 0 I

4  r 2

d~l  ~er

If the current is time-dep endent one has to take retardation into account: the substitution I (t)!

I (t r =c) has to b e applied.

The p otentials are given by: V 12 =

Z^2

1

E^ ~
d~s and A~ = 1

2

B~  ~r.

Chapter 2: Electricity & Magnetism 11

The radiated energy can b e derived from the Poynting vector S~ : S~ = E~  H~ = cW ~ev. The irradiance

is the time-averaged of the Poynting vector: I = hj S~ jit. The radiation pressure ps is given by

ps = (1 + R)j S~ j=c, where R is the co ecient of re ection.

2.5.2 Electromagnetic waves in matter

The wave equations in matter, with cmat = (")^1 =^2 are:

r^2 "

@ t^2

@ t

E~ = 0 ;

r^2 "

@ t^2

@ t

B~ = 0

give, after substitution of mono chromatic plane waves: E~ = E exp(i(~k
~r ! t)) and B~ = B exp(i(~k

~r ! t)) the disp ersion relation:

k 2 = "! 2 +

i! 

The rst term arises from the displacement current, the second from the conductance current. If k is written as k := k 0 + ik 00 it follows:

k 0 =!

q

1 2 "

vu

u

t 1 +

s

("! )^2

and k 00 =!

q

1 2 "

vu

u

t 1 +

s

("! )^2

This results in a damp ed wave: E~ = E exp(k 00 ~n
~r ) exp (i(k 0 ~n
~r ! t)). If the material is a go o d

conductor, the wave vanishes after approximately one wavelength, k = (1 + i)

r

2.6 Multip oles

Because

j~r ~r 0 j

r

X^1

0

r 0 r

l

Pl (cos  ) the p otential can b e written as: V =

Q

X

n

kn r n

For the lowest-order terms this results in:

 Monop ole: l = 0, k 0 =

R

dV

 Dip ole: l = 1, k 1 =

R

r cos ( )dV

 Quadrup ole: l = 2, k 2 = 12

P

i

(3z 2 i r i^2 )

1. The electric dip ole: dip ole moment: ~p = Ql~e , where ~e go es from  to , and F~ = (~p
r) E~ext ,

and W = ~p
E~out.

Electric eld: E~ 

Q

4  "r 3

3 ~p
~r

r 2

~p

. The torque is: ~ = ~p  E~out

2. The magnetic dip ole: dip ole moment: if r 

p

A: ~ = ~I  (A~e? ), F~ = (~
r) B~out

jj =

mv (^)?^2 2 B

, W = ~  B~out

Magnetic eld: B~ =

4  r 3

3 
~r

r 2

. The moment is: ~ = ~  B~out

2.7 Electric currents

The continuity equation for charge is:

@ t

+ r
J~ = 0. The electric current is given by:

I =

dQ dt

ZZ

( J~
~n)d^2 A

12 Physics Formulary by ir. J.C.A. Wevers

For most conductors holds: J~ = E~ =, where  is the resistivity.

If the ux enclosed by a conductor changes this results in an induced voltage Vind = N

d dt

. If

the current owing through a conductor changes, this results in a self-inductance which opp oses the

original change: Vsel nd = L

dI dt

. If a conductor encloses a ux  holds:  = LI.

The magnetic induction within a coil is approximated by: B =

N I

p

l 2 + 4 R^2

where l is the length, R

the radius and N the numb er of coils. The energy contained within a coil is given by W = 12 LI 2 and L = N 2 A=l.

The capacity is de ned by: C = Q=V. For a capacitor holds: C = " 0 "r A=d where d is the distance b etween the plates and A the surface of one plate. The electric eld strength b etween the plates is E =  =" 0 = Q=" 0 A where  is the surface charge. The accumulated energy is given by W = 12 C V 2.

The current through a capacity is given by I = C

dV dt

For most PTC resistors holds approximately: R = R 0 (1 + T ), where R 0 = l =A. For a NTC holds:

R(T ) = C exp(B =T ) where B and C dep end only on the material.

If a current ows through two di erent, connecting conductors x and y , the contact area will heat up or co ol down, dep ending on the direction of the current: the Peltier e ect. The generated or removed heat is given by: W = xy I t. This e ect can b e ampli ed with semiconductors.

The thermic voltage b etween 2 metals is given by: V = (T T 0 ). For a Cu-Konstantane connection

holds:  0 : 2 0 : 7 mV/K.

InP an electrical net with only stationary currents, Kirchho 's equations apply: for a knot holds:

In = 0, along a closed path holds:

P

Vn =

P

In Rn = 0.

2.8 Dep olarizing eld

If a dielectric material is placed in an electric or magnetic eld, the eld strength within and outside the material will change b ecause the material will b e p olarized or magnetized. If the medium has an ellipsoidal shap e and one of the principal axes is parallel with the external eld E~ 0 or B~ 0 then the dep olarizing is eld homogeneous.

E^ ~dep = E~mat E~ 0 = N^

P~

H^ ~dep = H~mat H~ 0 = N M~

N is a constant dep ending only on the shap e of the ob ject placed in the eld, with 0  N  1. For

a few limiting cases of an ellipsoid holds: a thin plane: N = 1, a long, thin bar: N = 0, a sphere:

N = 13.

2.9 Mixtures of materials

The average electric displacement in a material which is inhomogenious on a mesoscopic scale is given

by: hD i = h"E i = "^ hE i where "^ = " 1

 2 (1 x)

("^ =" 2 )

where x = " 1 =" 2. For a sphere holds:

 = 13 + 23 x. Further holds:

X

i

i "i

 "^ 

X

i

i "i