Mathematics 2 Lectures, Lecture notes of Mathematics

Download Mathematics 2 Lectures and more Lecture notes Mathematics in PDF only on Docsity!

LOCALLY ROOTED, GLOBALLY RESPECTED UNIVERSITAS GADJAH MADA ugm.ac.id

nd

Order Linear ODEs

Burhan Febrinawarta Erny R. Wijayati Matematika 2 / Kalkulus 2

UNIVERSITAS GADJAH MADA LOCALLY ROOTED, GLOBALLY RESPECTED ugm.ac.id

Non-Homogeneous Linear

ODEs of Second Order

′′

• 𝑝 𝑥 𝑦 ′
• 𝑞 𝑥 𝑦 = 𝑟 𝑥

• Jika 𝑟 𝑥 = 0 → 𝑦 ′′ + 𝑝 𝑥 𝑦 ′ + 𝑞 𝑥 𝑦 = 0 maka
• 𝑦ℎ = 𝐶 1 𝑦 1 + 𝐶 2 𝑦 2 atau
• λ 2

• 𝑎λ + 𝑏 = 0 → 𝑦ℎ = 𝑐 1 𝑒 λ 1 𝑥
• 𝑐 2 𝑒 λ 2 𝑥 atau 𝑦ℎ = 𝐶 1 + 𝑥𝐶 2 𝑒 λ 2 𝑥 atau 𝑦ℎ = 𝑒 − 𝑎 2 𝑥 (𝐴 cos 𝜔𝑥 + 𝐵 sin 𝜔𝑥)

• yang mana apabila disubstitusikan ke LHS akan menghasilkan nilai
  1. Persamaan tersebut terpenuhi, sehingga 𝑦ℎ adalah solusi

𝑦 ′′

• 𝑝 𝑥 𝑦 ′
• 𝑞 𝑥 𝑦 = 𝑟 𝑥

• Jika 𝑟 𝑥 ≠ 0 → 𝑦 ′′ + 𝑝 𝑥 𝑦 ′ + 𝑞 𝑥 𝑦 = 𝑟 𝑥
• Jika 𝑦ℎ disubstitusikan ke maka LHS akan bernilai 0. Oleh karena itu, diperlukan solusi tambahan sehingga LHS akan bernilai 𝑟 𝑥 dan bukan 0.
• Sehingga general solution dari ODE, 𝑦 ′′ + 𝑝 𝑥 𝑦 ′ + 𝑞 𝑥 𝑦 = 𝑟 𝑥 , adalah penjumlahan dari complementary function dan particular solution. - General solution non-homogen ODE = general solution homogen ODE + particular solution. - 𝑦 = 𝑦ℎ + 𝑦𝑝 - 𝑦 = 𝐶 1 𝑦 1 + 𝐶 2 𝑦 2 + 𝑦𝑝 - Yang mana 𝑦ℎ, adalah solusi dari ODE homogen dengan 𝐶 1 , 𝐶 2 adalah konstanta. Dan 𝑦𝑝 adalah solusi khusus ODE, tanpa konstanta yang tidak diketahui.

Metode: Undetermined Coefficients

• Metode ini lebih cocok untuk Linear ODE dengan koefisien konstan. 𝑦 ′′ + 𝑎𝑦 ′ + 𝑏𝑦 = 𝑟 𝑥
• Dengan 𝑟 𝑥 , adalah sebuah fungsi exponensial, fungsi pangkat dari x, fungsi sin, fungsi cos, atau penjumlahan/perkalian dari fungsi- fungsi tersebut.
• Ide:
  • Untuk menentukan 𝑦𝑝, kita pilih bentuk dari 𝑦𝑝, mirip dengan 𝑟 𝑥 tetapi dengan koefisien yang belum diketahui.
  • Penentuan koefisien tersebut dengan cara substitusi 𝑦𝑝 dan turunannya ke persamaan ODE tersebut.

• Choice Rule:
  • Basic Rule
    • Jika 𝑟 𝑥 adalah dalah satu dari fungsi yang ada pada kolom 1 “Term in 𝑟 𝑥 ”, pilih 𝑦𝑝 pada baris yang sama di kolom 2.
    • Penentuan konstanta dengan cara substitusi 𝑦𝑝 dan turunannya ke ODE.
  • Modification Rule
    • Jika setelah penentuan 𝑦𝑝, ternyata bernilai sama dengan 𝑦ℎ, maka kalikan 𝑦𝑝 dengan 𝑥 atau 𝑥 2 hingga 𝑦𝑝 tidak sama dengan 𝑦ℎ.
    • Biasanya terjadi di ODE dengan persamaan karakteristik yang menghasilkan akar kembar.
  • Sum Rule
    • Jika 𝑟 𝑥 adalah penjumlahan dari fungsi di kolom 1 “Term ini 𝑟 𝑥 ”, pilih solusi 𝑦𝑝 penjumlahan dari 𝑦𝑝 di kolom 2 pada baris yang sama.

• Tentukan solusi dari ODE: 𝑑 2 𝑦 𝑑𝑥 2

• Tentukan solusi dari ODE: 2 𝑦 ′′ − 11 𝑦 ′ + 12 𝑦 = 3 𝑥 − 2

• Tentukan solusi dari ODE: 𝑦 ′′ − 2 𝑦 ′ + 𝑦 = 3 𝑒 4 𝑥 ; 𝑦 0 = −

′ 0 = 4

• Tentukan solusi dari ODE: 𝑦 ′′ − 4 𝑦 ′ + 4 𝑦 = 3 𝑒 2 𝑥

• Tentukan solusi dari ODE: 𝑦 ′′ + 𝑦 ′ − 6 𝑦 = 12 𝑥 − 50 sin 𝑥

• Tentukan solusi dari ODE: 𝑦 ′′ − 2 𝑦 ′ + 2 𝑦 = 3 𝑒 𝑥 cos 2 𝑥 ; 𝑦 0 = 2 ; 𝑦 ′ 0 = 3

Metode: Variation of Parameters

• Metode undetermined coefficient cocok digunakan untuk koefisien ODE berupa konstanta.
• Sedangkan, metode variation of parameters ini digunakan untuk general solution dari ODE dengan 𝑝 𝑥 , 𝑞 𝑥 adalah suatu fungsi yang konstanta. 𝑦𝑝 𝑥 = −𝑦 1 න

• Dengan 𝑦 1

2 adalah basis dari ODE homogen dan 𝑊 adalah Wronskian.

• Tentukan solusi, 𝑦 ′′ + 9 𝑦 = sec 𝑥