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TRANSFORMÉE DE LEGENDRE, THÉORIE ET APPLICATIONS (VERSION
PROVISOIRE)
PHILIPPE HELLUY, IRMA STRASBOURG
Table des matières Avertissement 1
- Analyse convexe et transformée de Legendre 1 1.1. Convexité 1 1.2. Semi-continuité 2 1.3. Transformée de Legendre 2
- Applications en dimension finie 4 2.1. Mécanique hamiltonienne 4 2.2. Transition de phase 5 2.3. Transformée de Legendre rapide 6 2.4. Théorie de Mocke 6
- Applications en dimension infinie 6 3.1. Formule de Lax-Oleinik 6 3.2. Dualité et optimisation : problème de Stokes 6 3.3. Introduction à l’analyse idempotente 6 Références 7
Avertissement Ces notes de cours sont en cours de rédaction...
- Analyse convexe et transformée de Legendre
1.1. Convexité. Dans la suite E désigne un espace de Banach muni d’une norme ‖.‖. On note E∗^ son dual topologique, c’est à dire l’ensemble des formes linéaires continues sur E, muni de la norme du sup. Suivant l’usage, pour ϕ ∈ E∗^ et u ∈ E, on note (ϕ, u) := ϕ(u). On rappelle que l’on peut définir une topologie sur E notée σ(E, E∗) appelée topologie faible. Cette topologie est définie à partir de la famille de semi-normes (pϕ)ϕ∈E∗ définies par pϕ(u) = |(ϕ, u)|. L’ensemble V est un voisinage faible de x ∈ E ssi il existe un nombre fini de semi-boules ouvertes de centre x incluses dans V 1. La notion de convergence d’une suite (un)n∈N de E pour cette topologie est donnée par un ⇀ u ⇐⇒ ∀ϕ ∈ E∗, (ϕ, un) → (ϕ, u).
Il est donc possible de définir deux notions de continuité : la continuité forte (pour la topologie forte) et la continuité faible (pour la topologie faible). Les fonctions faiblement continues sont nécessairement fortement continues mais la réciproque est en général fausse. Notons que les éléments du dual E∗^ sont à la fois fortement continues et faiblement continues, par définition de la convergence faible. Pour simplifier la présentation, nous supposerons de plus que E est un espace réflexif. Pour définir cette notion, introduisons le bidual E∗∗^ de E. On peut identifier E à un sous-espace de son bidual grâce à l’injection γ définie par 〈γ(u), ϕ〉E∗∗,E∗ := 〈ϕ, u〉E∗,E.
Il est facile de vérifier que γ(u) est bien une forme linéaire continue sur E∗^ et appartient donc à E∗∗. En utilisant le théorème de Hahn Banach, on peut montrer que γ est en fait une isométrie. Si γ est de plus une bijection alors l’espace E est dit réflexif. Tout espace de Hilbert est réflexif, l’espace Lp(R) est réflexif pour 1 < p < +∞. L’espace
Date: 2009.
- Contrairement à ce que j’ai dit en cours, cette topologie n’est en général pas métrisable. Ce n’est le cas que lorsque la topologie est définie par une famille dénombrable de semi-normes. 1
L∞(R) est le dual de L^1 (R) mais L^1 (R) n’est pas le dual de L∞(R). Ces deux espaces ne sont donc pas réflexifs. Dans un espace réflexif, la boule unité fermée est compacte pour la topologie faible. Nous nous intéressons à des fonctions réelles étendues, de la forme f : E → R ∪ {+∞}. Le domaine de f est défini par
domf = f −^1 (R),
son épigraphe est
epif = {(x, α) ∈ E × R, f (x) ≤ α}.
La fonction f est dite propre si domf 6 = ∅, elle est convexe ssi pour tout (u, v) dans E × E et tout t dans ]0, 1[,
f (tu + (1 − t)v) ≤ tf (u) + (1 − t)f (v).
Pour un sous-ensemble A de E, l’indicatrice de A est définie par
χA(x) =
0 si x ∈ A, +∞ sinon.
L’ensemble A est dit convexe ssi χA est convexe. L’enveloppe supérieure d’une famille quelconque de fonctions convexes est convexe. Une fonction est convexe ssi son epigraphe est convexe. Enfin, la convexité conduit à une certaine régularité :
Théorème 1. Soit f : E → R ∪ {+∞} convexe et propre. Supposons de plus qu’il existe un ouvert U sur lequel supU f < +∞. Alors f est continue et localement Lipschitzienne sur l’intérieur de domf.
1.2. Semi-continuité. En général, une fonction convexe continue pour la topologie forte n’est pas continue pour la topologie faible. La notion de semi-continuité inférieure est mieux adaptée à la convexité.
Définition 2. Une fonction f : E → R ∪ {+∞} est fortement (respt. faiblement) semi-continue inférieurement en x 0 (sci en x 0 en abrégé) si pour tout α de R tel que f (x 0 ) > α il existe un voisinage U fort (respt. faible) de x 0 tel que pour tout x dans U , f (x) > α. La fonction f est sci sur E ssi elle est sci en tout x ∈ E.
L’enveloppe supérieure de fonctions sci est sci. Une combinaison linéaire positive de fonctions sci est sci. Une fonction faiblement sci est fortement sci mais la réciproque est en général fausse dans les espaces de dimension infinie.
Proposition 3. Soit f : E → R ∪ {+∞}. Une fois la topologie choisie (faible ou forte), les propriétés suivantes sont équivalentes
(1) f est sci ; (2) ∀α ∈ R, f −^1 (] − ∞, α]) est un ensemble fermé ; (3) epif est fermé ; (4) ∀u ∈ E et pour toute suite un → u, f (u) ≤ lim inf(un) = supn infp≤n f (up).
Le théorème suivant permet de raisonner presque comme en dimension finie pour les fonctions convexes sci.
Théorème 4. Si f : E → R ∪ {+∞} est convexe et fortement sci alors elle est aussi faiblement sci.
1.3. Transformée de Legendre.
Définition 5. la relaxée sci (forte ou faible) f d’une fonction f : E → R ∪ {+∞} est donnée par
f (x) = sup {g(x), g : E → R ∪ {+∞}, g est sci (forte ou faible) et g ≤ f }
Nous pouvons vérifier que f est sci (comme enveloppe supérieure de fonctions sci) et que f est sci en x ssi f (x) = f (x). De plus
epif = clE×Repif
où clT (U ) dénote la fermeture de l’ensemble U dans l’espace topologique T.
Définition 6. (transformée de Legendre) Soit f : E → R ∪ {+∞} une fonction propre. La transformée de Legendre (ou de Fenchel) f ∗^ de f est une fonction de E∗^ → R ∪ {+∞} définie par
f ∗(p) = sup x∈E
((p, x) − f (x))
que h(0) = h∗∗(0) et que h∗^ atteint son minimum. Par ailleurs, h(0) = inf(f + g) = −(f + g)∗(0). Il nous reste à calculer
h∗(p) = sup{(p, x) − h(x), x ∈ E} = sup{(p, x) − f (x + y) − g(x), (x, y) ∈ E × E} = f ∗(p) + g∗(−p).
Nous en déduisons le résultat car −h∗∗(0) = min h∗^ = min{f ∗(p) + g∗(−p)}.
- Applications en dimension finie
2.1. Mécanique hamiltonienne.
2.1.1. équations de Lagrange. En physique, nous rencontrons souvent le principe de moindre action. Il peut se formuler de la façon suivante. Soit un lagrangien L : (x, u, t) 7 → L(x, u, t). Dans la suite, nous supposerons que le lagrangien est régulier, coercif et strictement convexe par rapport à u. Le vecteur position x ∈ Rd, le vecteur vitesse u ∈ Rd^ et le temps t ∈ R. La tradition impose souvent la notation q = x, q˙ = u. Nous cherchons une courbe paramétrée t 7 → x(t) qui minimise “l’action”
A(x) =
ˆ (^) t 1
t 0
L(x(t), x′(t), t)dt
avec
(2.1) x(t 0 ) = x 0 , x(t 1 ) = x 1
donnés. Pour cela, nous commençons par nous ramener à un problème de minimisation d’une fonction d’une seulle variable. Soit x réalisant un minimum local de A. Soit ϕ une autre courbe paramétrée vérifiant
ϕ(t 0 ) = 0, ϕ(t 1 ) = 0,
alors la courbe y = x + λϕ, où λ est un réel quelconque, vérifie bien les conditions aux limites (2.1). Il s’ensuit que A(y) ≥ A(x). La fonction d’une variable g : λ 7 → A(x + λϕ) admet donc un minimum en λ = 0 et donc nécessairement g′(0) = 0. Un calcul classique, utilisant une intégration par parties et le fait que la fonction ϕ est arbitraire nous donne
Proposition 12. Si la courbe x minimise l’action alors, le long de cette courbe
d dt
∂L
∂ q˙
∂L
∂q
= 0, i = 1 · · · d
(conditions d’Euler-Lagrange). La notation (traditionnelle) ∂L∂q doit être comprise comme ∇q L.
Un exemple fondamental issu de la physique consiste à étudier le mouvement de N particules de positions qi de vitesses q˙i et de masse mi, i = 1 · · · N dans un champ de forces de potentiel U (q 1 · · · qN ). Le lagrangien s’écrit alors
L = T − U
où T est l’énergie cinétique
T =
i
mi q˙ i^2.
Les équations du mouvement sont
(2.3) miq i′′ = ∇qi U (q 1 · · · qN ), i = 1 · · · N.
L’intérêt de cette approche est que, le principe d’optimisation ne dépendant pas du système de coordonnées choisies, nous pouvons nous placer dans n’importe quel jeu de coordonnées curvilignes. Il n’est pas indispensable de se placer dans un repère galiléen. En exercice, le lecteur pourra calculer par exemple le mouvement d’un pendule q(t) = θ(t) et q˙(t) = θ′(t), où θ désigne l’angle que fait le pendule avec la verticale.
2.1.2. équations de Hamilton. Nous introduisons le hamiltonien H(p, q, t) comme étant la transformée de Legendre du lagrangien par rapport à la variable q˙
H(p, q, t) = sup q ˙
(p · q˙ − L(q, q, t˙ )).
Grâce à l’hypothèse de coercivité et de stricte convexité, le supremum est atteint en un unique point q˙ tel que ∇ (^) q˙ L = p, le hamiltonien est donné par
H(p, q, t) = p · q˙ − L(q, q, t˙ ), p = ∇ (^) q˙ L(q, q, t˙ ).
De part la relation (1.1) nous avons aussi
(2.4) q˙ = ∇pH(p, q, t).
Calculons alors la différentielle du hamiltonien, nous trouvons
dH = qdp˙ + pd q˙ − ∇q Ldq − ∇ (^) q˙ d q˙ − ∂tLdt = qdp˙ − ∇q Ldq − ∂tLdt = ∂pHdp + ∂q Hdq + ∂tHdt.
Nous en déduisons, par identification
q ˙ = ∂pH, −∂q L = ∂q H,
mais d’après (2.2) la dernière égalité est aussi ∂q H = −∂t∂ (^) q˙ L et donc p˙ = −∂q H d’après (2.4). Nous en déduisons les équations de Hamilton
q ˙ = ∂pH, p ˙ = −∂q H.
Au cours du mouvement, il est facile de vérifier que le Hamiltonien est constant. Nous en déduisons par exemple que dans le mouvement des particules défini par (2.3) le hamiltonien H = T + U qui est ici l’énergie totale est conservé.
2.2. Transition de phase.
2.2.1. Construction de Maxwell pour un fluide de van der Waals. En physique, pour modéliser la transition de phase liquide-vapeur, il est fréquent d’utiliser le modèle de van der Waals. Dans ce modèle, l’énergie du fluide (à l’état liquide ou vapeur) dépend du volume τ occupé par une masse donnée de fluide et de l’entropie s de cette même masse
e(τ, s) =
es (3τ − 1)^8 /^3
τ
si τ > 1 / 3 , s > 0 ,
= +∞ sinon.
Comme souvent en physique, cette équation d’état est adimensionnée (nous nous sommes ramenés au cas ou le point critique, défini plus loin, est caractérisé par une température Tc = 1, une pression pc = 1 et un volume τc = 1). Or cette énergie n’est pas convexe, ce qu’interdit la thermodynamique (les zones non convexes sont instables). Mathématiquement, nous remplaçons donc e par sa biconjuguée e∗∗^ = co(e). Vérifions que cette construction permet de retrouver la construction de Maxwell. Nous constatons d’abord que e est strictement convexe par rapport à s pour tout τ ∈ dom(e). Nous définissons la température T = ∂se. À τ fixé, T = T (s) est un changement de variable bijectif. La transformée de Legendre partielle de e par rapport à s notée e∗,s^ est donc convexe par rapport à T et on a
f (τ, T ) := e∗,s(τ, T ) = T s − e(τ, s), T = ∂se.
Au signe près, la fonction f est connue sous le nom d’énergie libre de Helmholtz. Par ailleurs, la pression est définie par p = −∂τ e. Nous avons donc de = T ds − pdτ,
soit df = sdT + pdτ.
Il est classique de représenter les courbes dites isothermes dans le plan (τ, p) qui sont les courbes τ 7 → p(τ ) = ∂τ f (τ, T ) pour diverses températures T fixées. Comme f n’est pas concave par rapport à τ ces courbes de pression ne sont pas toujours décroissantes quand le volume augmente à température fixée, ce qui n’est pas physique. Voir Figure 2.1. Si on remplace f par f = co(e)∗,s, cette fois-ci f est concave par rapport à τ et donc les isothermes
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