Download Advanced Calculus for science and engineer and more Study notes Mathematics in PDF only on Docsity!
Pusat Pengembangan Bahan Ajar - UMB Drs. Achmad Khodar MT.
MODUL I
KALKULUS II
DERIVATIF FUNGSI IMPLISIT
1.1 Derivatif Fungsi-fungsi Implisit Persamaan f(x,y) = 0 pada suatu daerah tertentu, menentukan y sebagai fungsi implisit dari x, maka turunan y dapat ditentukan sbb :
- Jika mungkin ubalah fungsi implisit, menjadi fungsi eksplisit y = g(x), kemudian diferensiasikan.
- Pikirkan y sebagai fungsi x, kemudian turunkan persamaan implisit tersebut terhadap x dan persamaan yang diperoleh agar dipecahkan untuk y’ Contoh-contoh : Selesaikan diferensiasi fungsi implisit berikut kedalam turunan pertama dan ke dua
- xy + x – 2y – 1 = 0
- xy – x + y – 2 = 0
- y 2 = 2x 3
- x^2 + 5y 2 = 1
- x^3 + x 2 y – 10y^4 = 0 Penyelesaian.
- Ubah fungsi tersebut kedalam fungsi eksplisit lalu turunkan xy + x – 2y – 1 = 0 (x – 2) y = 1 – x y = (^1) x − − x 2^ y’ = ( x^ −^2 )((− x^1 −) 2 −)( 21 − x ).^1 =
y’ = − x (^ + x^2 −− 2 )^12 − x = (^) ( x −^12 ) 2
Pusat Pengembangan Bahan Ajar - UMB Drs. Achmad Khodar MT.
- xy – x + y – 2 = 0 xy – y = 2 + x ( x + 1) y = 2 + x y = (^2) x + + 1 x
y’ = ( x +^1 )((^1 x ) +− 1 ()^22 + x ).^1
y’ = x^ +( x^1 +− 12 ) 2 − x y’ = (^) ( x − +^11 ) 2
- y^2 = 2x^3 Persamaan tetap dalam fungsi implisit d /dx (y 2 ) = d / dx (2x^3 ) 2 y y’ = 6 x 2 y’ = 6x^2 /2y y’ = 3x^2 /y. 2y ≠ 0
- x^2 + 5y^2 = 1 d /dx ( x 2 ) + d /dx ( 5y 2 ) = d /dx (1) 2x + 10yy’ = 0 y’ = - 2x/10y atau y’ = - x/5y. y ≠ 0
- x^3 + x^2 y – 10y^4 = 0 d/dx (x^3 ) + d/dx (x^2 y) – d/dx (10y 4 ) = d/dx (0) 3x^2 + 2xy + x^2 y’ – 40y^3 y’ = 0 40y^3 y’ – x 2 y’ = 3x^2 + 2xy (40y^3 – x^2 )y’ = 3x^2 + 2xy y’ = 403 xy^23 + −^2 xx 2
Pusat Pengembangan Bahan Ajar - UMB Drs. Achmad Khodar MT.
2 y’ + ( x – 4 ) y ” = 0 ( x – 4 ) y “ = - 2 y ‘ ( x – 4 ) y” = - 2 ( −(( x^2 −+ 4 ) y )^ )
( x – 4 ) y “ = (^) (^4 x − −^24 y )
y” = (^) (^4 x − −^24 ) y 2
- Hitung y ‘ dan y” pada x = 1 dan y = -1 untuk fungsi x 3 y + x y 3 = 2 Jawab : d/dx ( x^3 y) + d /dx ( x y^3 ) = d /dx ( 2 ) 3x^2 y + x^3 y’ + y^3 + 3 x y 2 y’ = 0 x^3 y’ + 3 x y 2 y’ = - ( 3 x 2 y + y 3 ) ( x 3 + 3 x y 2 ) y’ = - ( 3x 2 y + y 3 ) y’ = (^) ((^3 32 32 ))
3 x xy
x y y
untuk x = 1 dan y = -1 kita masukan harga tersebut ke y’ maka diperoleh y’ = 1 untuk y” dari 3x^2 y + x^3 y’ + y 3 + 3 x y 2 y’ = 0 kita turunkan lagi d/dx (3x 2 y) + d/dx (x 3 y’) + d/dx (y^3 ) + d/dx (3xy^2 y’) = 0 6xy + 3 x 2 y’ + 3 x 2 y’ + x 3 y” + 3 y 2 y’ + 3 y 2 y’ + 6 x y y’y’ + 3 x y 2 y” = 0 x^3 y” + 3x y 2 y” = - 6 x y - 6 x 2 y’ - 6 y 2 y’ - 6 x y y’ 2 ( x^3 + 3 x y 2 ) y” = - ( 6 x y + 6 x 2 y ’ + 6 y 2 y’ + 6 x y y’ 2 )
y “ = −(^6 xy +^6 xx 32 y +'+ 36 xyy 22 y '+ xyy '^2 )
untuk x = 1, y = -1 dan y’ = 1, didapat y” = 0
Pusat Pengembangan Bahan Ajar - UMB Drs. Achmad Khodar MT.
a r b s c t u
1.3 Nilai Extrem. Suatu nilai ekstrem fungsi akan memuat titik- titik kritis, fungsi naik dan fungsi turun serta nilai maksimum dan minimum suatu fungsi. Menentukan titik kritis ; Jika f(x) dapat diturunkan dalam selang a ≤ x ≤ b dimana f (x) memiliki nilai relatif maka f’(x) = 0 adalah kritis Selesaikan f’(x0) = 0 untuk harga-harga kritis. Buat garis bilangan y’ untuk harga- harga kritis tentukan tanda setiap ruas dari y’. 1.4 Fungsi Naik & Fungsi Turun
- Suatu fungsi dikatakan naik pada x = x 0. bila turunannya positif, f’(x 0 ) > 0.
- Suatu fungsi dikatakan turun pada x = x 0 , bila turunannya negatif, f’(x 0 ) < 0.
- Suatu fungsi dikatakan diam (stationer) pada x = x 0 , bila turunannya nol, f’(x 0 ) = 0. 1.5 Harga Maksimum dan Minimum.
- Suatu fungsi f(x) bernilai maksimum, jika f’(x 0 ) berubah tanda dari tanda positif ke negatif.
- Suatu fugnsi f(x) bernilai minimum, jika f’(x 0 ) berubah tanda dari tanda negatif ke positif.
Gambar 1.1 : Kedudukan fungsi
