Download 01 Persamaan Diferensial orde 1 and more Summaries Mathematics in PDF only on Docsity!

Persamaan

Diferensial

Matematika Teknik 3 Dr. Ahmad Sabri Universitas Gunadarma

Definisi

• Persamaan diferensial (PD)/ differential equation (DE) adalah sebuah persamaan yang terdiri dari sebuah fungsi yang tidak diketahui dan turunannya
• Sebuah PD dikatakan “PD biasa” ( ordinary differential equation ) jika fungsi yang dimaksud hanya bergantung pada satu variabel bebas. Jika bergantung pada dua atau lebih variabel bebas, maka PD tersebut dikatakan “parsial” (partial differential equation)
• Orde dari sebuah PD adalah turunan tertinggi dari fungsi yang ada pada PD tersebut

Contoh

• PD Biasa orde
• PD Biasa orde
• PD Biasa orde
• PD Biasa orde
• PD Parsial orde

Solusi dari PD

• Sebuah solusi dari PD dengan fungsi tak-diketahui 𝑦 dan variabel bebas 𝑥 pada interval 𝐼, adalah fungsi 𝑦(𝑥) yang memenuhi PD tersebut untuk semua 𝑥 dalam interval 𝐼
• Solusi dari PD:
  • Tak-hingga solusi
  • Tidak ada solusi
  • Solusi tunggal

• Solusi khusus dari sebuah PD adalah sebarang sebuah solusi dari himpunan solusi untuk PD tersebut
• Solusi umum dari sebuah PD adalah himpunan dari semua solusi untuk PD tersebut

Persamaan bentuk standar dan bentuk

diferensial

• Sebagian besar, namun tidak semuanya, PD orde satu dapat dituliskan dalam bentuk standar 𝑦′ = 𝑓(𝑥, 𝑦).
• Bentuk standar 𝑦 ′ = 𝑓(𝑥, 𝑦) selalu dapat dinyatakan dalam bentuk − 𝑀 𝑥,𝑦 𝑁 𝑥,𝑦 , sehingga 𝑑𝑦 𝑑𝑥

dan diperoleh bentuk diferensial berikut: 𝑀(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥 + 𝑁(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦 = 0.

𝑥𝑦′ − 𝑦 2 = 0 Bentuk standar 𝑦 = 𝑓(𝑥, 𝑦): 𝑥𝑦 ′ = 𝑦 2 𝑦 ′ = 𝑦 2 𝑥 Bentuk diferensial 𝑀(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥 + 𝑁(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦 = 0 : 𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑥 − 𝑦 2 = 0 𝑥 𝑑𝑦 − 𝑦 2 𝑑𝑥 = 0 (dalam hal ini 𝑀 𝑥, 𝑦 = 𝑥; 𝑁 𝑥, 𝑦 = −𝑦 2

Jenis-jenis PD orde satu ( First order DE )

1. PD homogen
2. PD terpisahkan (separable)
3. PD eksak
4. PD linier orde satu
5. PD non linier orde satu (PD Bernoulli)

Periksalah apakah PD berikut homogen

1. 𝑦 ′ = 𝑦+𝑥 𝑥
2. 𝑦 ′ = 𝑦 2 𝑥
3. 𝑦 ′ = 2𝑥𝑦𝑒 𝑥/𝑦 𝑥 2 +𝑦 2 sin 𝑥 𝑦
4. 𝑦 ′ = 𝑥 2 +𝑦 2 𝑥 3

′

𝑦+𝑥 𝑥 Penyelesaian: 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑦+𝑥 𝑥 𝑓 𝑡𝑥, 𝑡𝑦 = 𝑡𝑦+𝑡𝑥 𝑡𝑥

𝑡(𝑦+𝑥) 𝑡𝑥

𝑦+𝑥 𝑥 = 𝑓(𝑥, 𝑦) (PD homogen)

Periksalah apakah PD berikut terpisahkan

1. sin 𝑥 𝑑𝑥 + 𝑦 2 𝑑𝑦 = 0
2. 𝑥𝑦 2 𝑑𝑥 − 𝑥 2 𝑦 2 𝑑𝑦 = 0
3. 1 + 𝑥𝑦 𝑑𝑥 + 𝑦 𝑑𝑦 = 0

2 2 3 2

1. 0
   2. ' 2
3. 0; (0) 1 x xdx y dy y y x dy x dx y e dx ydy y − = =

= − = = Carilah solusi dari PD berikut:

Periksalah apakah PD berikut adalah eksak

1. 3 𝑥 2 𝑦 𝑑𝑥 + 𝑦 + 𝑥 3 𝑑𝑦 = 0
2. 𝑥𝑦 𝑑𝑥 + 𝑦 2 𝑑𝑦 = 0

2 𝑦 𝑑𝑥 + 𝑦 + 𝑥 3 𝑑𝑦 = 0 eksak? Penyelesaian: 𝑀 𝑥, 𝑦 = 3 𝑥 2 𝑦; 𝑁 𝑥, 𝑦 = 𝑦 + 𝑥 3 𝜕𝑀(𝑥,𝑦) 𝜕𝑦

2 ; 𝜕𝑁(𝑥,𝑦) 𝜕𝑥

2 𝜕𝑀(𝑥,𝑦) 𝜕𝑦

𝜕𝑁(𝑥,𝑦) 𝜕𝑥

2 PD tersebut eksak